Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37071 / 26675
↖ ↑ ↗
← N 31.714150°
E 23.637085°		 ← 519.59 m → N 31.714150°
E 23.642578°		 →
↑
519.62 m
↓
↑
519.62 m
↓
N 31.709477°
E 23.637085°		 ← 519.61 m →
269 993 m²		 N 31.709477°
E 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565666198730469 y=0.407035827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565666198730469 × 216)
    floor (0.565666198730469 × 65536)
    floor (37071.5)     		tx = 37071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407035827636719 × 216)
    floor (0.407035827636719 × 65536)
    floor (26675.5)     		ty = 26675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37071 / 26675 ti = "16/37071/26675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37071/26675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37071 ÷ 216
    37071 ÷ 65536     		x = 0.565658569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26675 ÷ 216
    26675 ÷ 65536     		y = 0.407028198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565658569335938 × 2 - 1) × π
    0.131317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41254496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407028198242188 × 2 - 1) × π
    0.185943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.584159058770004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41254496} λ = 0.41254496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584159058770004))-π/2
    2×atan(1.79348213822752)-π/2
    2×1.06215632672562-π/2
    2.12431265345124-1.57079632675     		φ = 0.55351633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41254496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.637085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55351633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.714150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37071 KachelY 26675 0.41254496 0.55351633 23.637085 31.714150
    Oben rechts KachelX + 1 37072 KachelY 26675 0.41264083 0.55351633 23.642578 31.714150
    Unten links KachelX 37071 KachelY + 1 26676 0.41254496 0.55343477 23.637085 31.709477
    Unten rechts KachelX + 1 37072 KachelY + 1 26676 0.41264083 0.55343477 23.642578 31.709477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55351633-0.55343477) × R
    8.1560000000036e-05 × 6371000     		dl = 519.61876000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55351633-0.55343477) × R
    8.1560000000036e-05 × 6371000     		dr = 519.61876000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41254496-0.41264083) × cos(0.55351633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850681314516381 × 6371000     		do = 519.585743074117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41254496-0.41264083) × cos(0.55343477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850724186290394 × 6371000     		du = 519.611928629363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55351633)-sin(0.55343477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850681314516381-0.850724186290394)×R²
    abs(0.41264083-0.41254496)×4.28717740128537e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28717740128537e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28717740128537e-05×40589641000000     		ar = 269993.3029326m²