Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37070 / 28071
↖ ↑ ↗
← N 24.971120°
E 23.631592°		 ← 553.75 m → N 24.971120°
E 23.637085°		 →
↑
553.70 m
↓
↑
553.70 m
↓
N 24.966140°
E 23.631592°		 ← 553.77 m →
306 619 m²		 N 24.966140°
E 23.637085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565650939941406 y=0.428337097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565650939941406 × 216)
    floor (0.565650939941406 × 65536)
    floor (37070.5)     		tx = 37070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428337097167969 × 216)
    floor (0.428337097167969 × 65536)
    floor (28071.5)     		ty = 28071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37070 / 28071 ti = "16/37070/28071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37070/28071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37070 ÷ 216
    37070 ÷ 65536     		x = 0.565643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28071 ÷ 216
    28071 ÷ 65536     		y = 0.428329467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565643310546875 × 2 - 1) × π
    0.13128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41244908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428329467773438 × 2 - 1) × π
    0.143341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.450319235030808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41244908} λ = 0.41244908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450319235030808))-π/2
    2×atan(1.56881292560166)-π/2
    2×1.00331229371492-π/2
    2.00662458742984-1.57079632675     		φ = 0.43582826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41244908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.631592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43582826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.971120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37070 KachelY 28071 0.41244908 0.43582826 23.631592 24.971120
    Oben rechts KachelX + 1 37071 KachelY 28071 0.41254496 0.43582826 23.637085 24.971120
    Unten links KachelX 37070 KachelY + 1 28072 0.41244908 0.43574135 23.631592 24.966140
    Unten rechts KachelX + 1 37071 KachelY + 1 28072 0.41254496 0.43574135 23.637085 24.966140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43582826-0.43574135) × R
    8.69099999999956e-05 × 6371000     		dl = 553.703609999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43582826-0.43574135) × R
    8.69099999999956e-05 × 6371000     		dr = 553.703609999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41244908-0.41254496) × cos(0.43582826) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.906520693897169 × 6371000     		do = 553.74950751767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41244908-0.41254496) × cos(0.43574135) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.906557380519105 × 6371000     		du = 553.771917594976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43582826)-sin(0.43574135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906520693897169-0.906557380519105)×R²
    abs(0.41254496-0.41244908)×3.66866219360107e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.66866219360107e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.66866219360107e-05×40589641000000     		ar = 306619.30581153m²