Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3707 / 5291
↖ ↑ ↗
← S 46.407564°
W 17.094726°		 ← 3 369.35 m → S 46.407564°
W 17.050781°		 →
↑
3 368.41 m
↓
↑
3 368.41 m
↓
S 46.437857°
W 17.094726°		 ← 3 367.48 m →
11 346 219 m²		 S 46.437857°
W 17.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45257568359375 y=0.64593505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45257568359375 × 213)
    floor (0.45257568359375 × 8192)
    floor (3707.5)     		tx = 3707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64593505859375 × 213)
    floor (0.64593505859375 × 8192)
    floor (5291.5)     		ty = 5291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3707 / 5291 ti = "13/3707/5291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3707/5291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3707 ÷ 213
    3707 ÷ 8192     		x = 0.4525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5291 ÷ 213
    5291 ÷ 8192     		y = 0.6458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29835926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.291748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.916553520735474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29835926} λ = -0.29835926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916553520735474))-π/2
    2×atan(0.39989489826586)-π/2
    2×0.380415768885567-π/2
    0.760831537771135-1.57079632675     		φ = -0.80996479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29835926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80996479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.407564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3707 KachelY 5291 -0.29835926 -0.80996479 -17.094726 -46.407564
    Oben rechts KachelX + 1 3708 KachelY 5291 -0.29759227 -0.80996479 -17.050781 -46.407564
    Unten links KachelX 3707 KachelY + 1 5292 -0.29835926 -0.81049350 -17.094726 -46.437857
    Unten rechts KachelX + 1 3708 KachelY + 1 5292 -0.29759227 -0.81049350 -17.050781 -46.437857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80996479--0.81049350) × R
    0.000528709999999988 × 6371000     		dl = 3368.41140999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80996479--0.81049350) × R
    0.000528709999999988 × 6371000     		dr = 3368.41140999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29835926--0.29759227) × cos(-0.80996479) × R
    0.000766990000000023 × 0.689523934675751 × 6371000     		do = 3369.35408008755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29835926--0.29759227) × cos(-0.81049350) × R
    0.000766990000000023 × 0.689140913284706 × 6371000     		du = 3367.48244863029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80996479)-sin(-0.81049350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689523934675751-0.689140913284706)×R²
    abs(-0.29759227--0.29835926)×0.000383021391044958×R²
    0.000766990000000023×0.000383021391044958×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383021391044958×40589641000000     		ar = 11346218.7796252m²