Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3707 / 3707
↖ ↑ ↗
← S 81.024916°
E145.810547°		 ← 1 524.63 m → S 81.024916°
E145.898438°		 →
↑
1 523.50 m
↓
↑
1 523.50 m
↓
S 81.038617°
E145.810547°		 ← 1 522.33 m →
2 321 017 m²		 S 81.038617°
E145.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9051513671875 y=0.9051513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9051513671875 × 212)
    floor (0.9051513671875 × 4096)
    floor (3707.5)     		tx = 3707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9051513671875 × 212)
    floor (0.9051513671875 × 4096)
    floor (3707.5)     		ty = 3707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3707 / 3707 ti = "12/3707/3707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3707/3707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3707 ÷ 212
    3707 ÷ 4096     		x = 0.905029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3707 ÷ 212
    3707 ÷ 4096     		y = 0.905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905029296875 × 2 - 1) × π
    0.81005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54487413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.81005859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54487412702954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54487413} λ = 2.54487413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54487412702954))-π/2
    2×atan(0.0784829302385643)-π/2
    2×0.0783223827877793-π/2
    0.156644765575559-1.57079632675     		φ = -1.41415156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54487413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41415156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.024916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3707 KachelY 3707 2.54487413 -1.41415156 145.810547 -81.024916
    Oben rechts KachelX + 1 3708 KachelY 3707 2.54640811 -1.41415156 145.898438 -81.024916
    Unten links KachelX 3707 KachelY + 1 3708 2.54487413 -1.41439069 145.810547 -81.038617
    Unten rechts KachelX + 1 3708 KachelY + 1 3708 2.54640811 -1.41439069 145.898438 -81.038617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41415156--1.41439069) × R
    0.000239129999999976 × 6371000     		dl = 1523.49722999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41415156--1.41439069) × R
    0.000239129999999976 × 6371000     		dr = 1523.49722999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54487413-2.54640811) × cos(-1.41415156) × R
    0.0015339799999996 × 0.156004938298302 × 6371000     		do = 1524.63416840264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54487413-2.54640811) × cos(-1.41439069) × R
    0.0015339799999996 × 0.155768731682034 × 6371000     		du = 1522.32572431174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41415156)-sin(-1.41439069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156004938298302-0.155768731682034)×R²
    abs(2.54640811-2.54487413)×0.000236206616268414×R²
    0.0015339799999996×0.000236206616268414×6371000²
    0.0015339799999996×0.000236206616268414×40589641000000     		ar = 2321017.48930058m²