Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37068 / 30539
↖ ↑ ↗
← N 12.152116°
E 23.620606°		 ← 597.10 m → N 12.152116°
E 23.626099°		 →
↑
597.09 m
↓
↑
597.09 m
↓
N 12.146746°
E 23.620606°		 ← 597.11 m →
356 527 m²		 N 12.146746°
E 23.626099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565620422363281 y=0.465995788574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565620422363281 × 216)
    floor (0.565620422363281 × 65536)
    floor (37068.5)     		tx = 37068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465995788574219 × 216)
    floor (0.465995788574219 × 65536)
    floor (30539.5)     		ty = 30539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37068 / 30539 ti = "16/37068/30539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37068/30539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37068 ÷ 216
    37068 ÷ 65536     		x = 0.56561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30539 ÷ 216
    30539 ÷ 65536     		y = 0.465988159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56561279296875 × 2 - 1) × π
    0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465988159179688 × 2 - 1) × π
    0.068023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.21370269850621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41225734} λ = 0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.21370269850621))-π/2
    2×atan(1.23825446516232)-π/2
    2×0.891445380538025-π/2
    1.78289076107605-1.57079632675     		φ = 0.21209443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21209443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.152116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37068 KachelY 30539 0.41225734 0.21209443 23.620606 12.152116
    Oben rechts KachelX + 1 37069 KachelY 30539 0.41235321 0.21209443 23.626099 12.152116
    Unten links KachelX 37068 KachelY + 1 30540 0.41225734 0.21200071 23.620606 12.146746
    Unten rechts KachelX + 1 37069 KachelY + 1 30540 0.41235321 0.21200071 23.626099 12.146746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21209443-0.21200071) × R
    9.37199999999916e-05 × 6371000     		dl = 597.090119999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21209443-0.21200071) × R
    9.37199999999916e-05 × 6371000     		dr = 597.090119999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41225734-0.41235321) × cos(0.21209443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977592165242791 × 6371000     		do = 597.101338578103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41225734-0.41235321) × cos(0.21200071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977611889745943 × 6371000     		du = 597.113386063397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21209443)-sin(0.21200071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977592165242791-0.977611889745943)×R²
    abs(0.41235321-0.41225734)×1.97245031517967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97245031517967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97245031517967e-05×40589641000000     		ar = 356526.906881946m²