Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37068 / 28076
↖ ↑ ↗
← N 24.946219°
E 23.620606°		 ← 553.80 m → N 24.946219°
E 23.626099°		 →
↑
553.83 m
↓
↑
553.83 m
↓
N 24.941238°
E 23.620606°		 ← 553.83 m →
306 720 m²		 N 24.941238°
E 23.626099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565620422363281 y=0.428413391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565620422363281 × 216)
    floor (0.565620422363281 × 65536)
    floor (37068.5)     		tx = 37068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428413391113281 × 216)
    floor (0.428413391113281 × 65536)
    floor (28076.5)     		ty = 28076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37068 / 28076 ti = "16/37068/28076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37068/28076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37068 ÷ 216
    37068 ÷ 65536     		x = 0.56561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28076 ÷ 216
    28076 ÷ 65536     		y = 0.42840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56561279296875 × 2 - 1) × π
    0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42840576171875 × 2 - 1) × π
    0.1431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449839866034607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41225734} λ = 0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449839866034607))-π/2
    2×atan(1.56806106554788)-π/2
    2×1.00309499277732-π/2
    2.00618998555463-1.57079632675     		φ = 0.43539366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43539366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.946219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37068 KachelY 28076 0.41225734 0.43539366 23.620606 24.946219
    Oben rechts KachelX + 1 37069 KachelY 28076 0.41235321 0.43539366 23.626099 24.946219
    Unten links KachelX 37068 KachelY + 1 28077 0.41225734 0.43530673 23.620606 24.941238
    Unten rechts KachelX + 1 37069 KachelY + 1 28077 0.41235321 0.43530673 23.626099 24.941238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43539366-0.43530673) × R
    8.69300000000406e-05 × 6371000     		dl = 553.831030000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43539366-0.43530673) × R
    8.69300000000406e-05 × 6371000     		dr = 553.831030000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41225734-0.41235321) × cos(0.43539366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906704079617013 × 6371000     		do = 553.803762839166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41225734-0.41235321) × cos(0.43530673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906740740428293 × 6371000     		du = 553.826154814334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43539366)-sin(0.43530673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906704079617013-0.906740740428293)×R²
    abs(0.41235321-0.41225734)×3.66608112796207e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66608112796207e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66608112796207e-05×40589641000000     		ar = 306719.909269704m²