Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37067 / 30565
↖ ↑ ↗
← N 12.012457°
E 23.615112°		 ← 597.48 m → N 12.012457°
E 23.620606°		 →
↑
597.41 m
↓
↑
597.41 m
↓
N 12.007085°
E 23.615112°		 ← 597.49 m →
356 940 m²		 N 12.007085°
E 23.620606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565605163574219 y=0.466392517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565605163574219 × 216)
    floor (0.565605163574219 × 65536)
    floor (37067.5)     		tx = 37067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466392517089844 × 216)
    floor (0.466392517089844 × 65536)
    floor (30565.5)     		ty = 30565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37067 / 30565 ti = "16/37067/30565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37067/30565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37067 ÷ 216
    37067 ÷ 65536     		x = 0.565597534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30565 ÷ 216
    30565 ÷ 65536     		y = 0.466384887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565597534179688 × 2 - 1) × π
    0.131195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41216146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466384887695312 × 2 - 1) × π
    0.067230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.211209979725967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41216146} λ = 0.41216146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211209979725967))-π/2
    2×atan(1.23517168884577)-π/2
    2×0.890226630837157-π/2
    1.78045326167431-1.57079632675     		φ = 0.20965693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41216146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.615112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20965693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.012457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37067 KachelY 30565 0.41216146 0.20965693 23.615112 12.012457
    Oben rechts KachelX + 1 37068 KachelY 30565 0.41225734 0.20965693 23.620606 12.012457
    Unten links KachelX 37067 KachelY + 1 30566 0.41216146 0.20956316 23.615112 12.007085
    Unten rechts KachelX + 1 37068 KachelY + 1 30566 0.41225734 0.20956316 23.620606 12.007085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20965693-0.20956316) × R
    9.3769999999993e-05 × 6371000     		dl = 597.408669999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20965693-0.20956316) × R
    9.3769999999993e-05 × 6371000     		dr = 597.408669999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41216146-0.41225734) × cos(0.20965693) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.978102373504922 × 6371000     		do = 597.475282447294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41216146-0.41225734) × cos(0.20956316) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.978121885025481 × 6371000     		du = 597.487201088505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20965693)-sin(0.20956316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978102373504922-0.978121885025481)×R²
    abs(0.41225734-0.41216146)×1.95115205591234e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.95115205591234e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.95115205591234e-05×40589641000000     		ar = 356940.474255983m²