Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37066 / 30280
↖ ↑ ↗
← N 13.539201°
E 23.609619°		 ← 593.81 m → N 13.539201°
E 23.615112°		 →
↑
593.84 m
↓
↑
593.84 m
↓
N 13.533860°
E 23.609619°		 ← 593.83 m →
352 635 m²		 N 13.533860°
E 23.615112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565589904785156 y=0.462043762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565589904785156 × 216)
    floor (0.565589904785156 × 65536)
    floor (37066.5)     		tx = 37066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462043762207031 × 216)
    floor (0.462043762207031 × 65536)
    floor (30280.5)     		ty = 30280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37066 / 30280 ti = "16/37066/30280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37066/30280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37066 ÷ 216
    37066 ÷ 65536     		x = 0.565582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30280 ÷ 216
    30280 ÷ 65536     		y = 0.4620361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565582275390625 × 2 - 1) × π
    0.13116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41206559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4620361328125 × 2 - 1) × π
    0.075927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.238534012509399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41206559} λ = 0.41206559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.238534012509399))-π/2
    2×atan(1.26938688033537)-π/2
    2×0.903549978274665-π/2
    1.80709995654933-1.57079632675     		φ = 0.23630363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41206559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.609619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23630363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.539201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37066 KachelY 30280 0.41206559 0.23630363 23.609619 13.539201
    Oben rechts KachelX + 1 37067 KachelY 30280 0.41216146 0.23630363 23.615112 13.539201
    Unten links KachelX 37066 KachelY + 1 30281 0.41206559 0.23621042 23.609619 13.533860
    Unten rechts KachelX + 1 37067 KachelY + 1 30281 0.41216146 0.23621042 23.615112 13.533860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23630363-0.23621042) × R
    9.32099999999825e-05 × 6371000     		dl = 593.840909999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23630363-0.23621042) × R
    9.32099999999825e-05 × 6371000     		dr = 593.840909999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41206559-0.41216146) × cos(0.23630363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972209973947211 × 6371000     		do = 593.813961958962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41206559-0.41216146) × cos(0.23621042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972231791171586 × 6371000     		du = 593.827287652786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23630363)-sin(0.23621042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972209973947211-0.972231791171586)×R²
    abs(0.41216146-0.41206559)×2.1817224374665e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1817224374665e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1817224374665e-05×40589641000000     		ar = 352634.980466797m²