Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37065 / 30573
↖ ↑ ↗
← N 11.969471°
E 23.604126°		 ← 597.51 m → N 11.969471°
E 23.609619°		 →
↑
597.54 m
↓
↑
597.54 m
↓
N 11.964097°
E 23.604126°		 ← 597.52 m →
357 036 m²		 N 11.964097°
E 23.609619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565574645996094 y=0.466514587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565574645996094 × 216)
    floor (0.565574645996094 × 65536)
    floor (37065.5)     		tx = 37065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466514587402344 × 216)
    floor (0.466514587402344 × 65536)
    floor (30573.5)     		ty = 30573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37065 / 30573 ti = "16/37065/30573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37065/30573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37065 ÷ 216
    37065 ÷ 65536     		x = 0.565567016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30573 ÷ 216
    30573 ÷ 65536     		y = 0.466506958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565567016601562 × 2 - 1) × π
    0.131134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41196972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466506958007812 × 2 - 1) × π
    0.066986083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.210442989332047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41196972} λ = 0.41196972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.210442989332047))-π/2
    2×atan(1.23422468724257)-π/2
    2×0.889851503370473-π/2
    1.77970300674095-1.57079632675     		φ = 0.20890668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41196972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.604126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20890668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.969471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37065 KachelY 30573 0.41196972 0.20890668 23.604126 11.969471
    Oben rechts KachelX + 1 37066 KachelY 30573 0.41206559 0.20890668 23.609619 11.969471
    Unten links KachelX 37065 KachelY + 1 30574 0.41196972 0.20881289 23.604126 11.964097
    Unten rechts KachelX + 1 37066 KachelY + 1 30574 0.41206559 0.20881289 23.609619 11.964097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20890668-0.20881289) × R
    9.37900000000103e-05 × 6371000     		dl = 597.536090000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20890668-0.20881289) × R
    9.37900000000103e-05 × 6371000     		dr = 597.536090000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41196972-0.41206559) × cos(0.20890668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978258243512547 × 6371000     		do = 597.508171039132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41196972-0.41206559) × cos(0.20881289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978277690362486 × 6371000     		du = 597.52004893724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20890668)-sin(0.20881289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978258243512547-0.978277690362486)×R²
    abs(0.41206559-0.41196972)×1.9446849938709e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9446849938709e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9446849938709e-05×40589641000000     		ar = 357036.245263907m²