Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37065 / 102986
↖ ↑ ↗
← S 71.139868°
W 78.197937°		 ← 98.73 m → S 71.139868°
W 78.195190°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
S 71.140756°
W 78.197937°		 ← 98.73 m →
9 750 m²		 S 71.140756°
W 78.195190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282787322998047 y=0.785724639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282787322998047 × 217)
    floor (0.282787322998047 × 131072)
    floor (37065.5)     		tx = 37065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785724639892578 × 217)
    floor (0.785724639892578 × 131072)
    floor (102986.5)     		ty = 102986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37065 / 102986 ti = "17/37065/102986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37065/102986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37065 ÷ 217
    37065 ÷ 131072     		x = 0.282783508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102986 ÷ 217
    102986 ÷ 131072     		y = 0.785720825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282783508300781 × 2 - 1) × π
    -0.434432983398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.36481147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785720825195312 × 2 - 1) × π
    -0.571441650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7952368907711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36481147} λ = -1.36481147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7952368907711))-π/2
    2×atan(0.166088102947484)-π/2
    2×0.1645856977928-π/2
    0.3291713955856-1.57079632675     		φ = -1.24162493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36481147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.197937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24162493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.139868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37065 KachelY 102986 -1.36481147 -1.24162493 -78.197937 -71.139868
    Oben rechts KachelX + 1 37066 KachelY 102986 -1.36476353 -1.24162493 -78.195190 -71.139868
    Unten links KachelX 37065 KachelY + 1 102987 -1.36481147 -1.24164043 -78.197937 -71.140756
    Unten rechts KachelX + 1 37066 KachelY + 1 102987 -1.36476353 -1.24164043 -78.195190 -71.140756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24162493--1.24164043) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24162493--1.24164043) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36481147--1.36476353) × cos(-1.24162493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323259023525304 × 6371000     		do = 98.7316264718286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36481147--1.36476353) × cos(-1.24164043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323244355673385 × 6371000     		du = 98.727146532302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24162493)-sin(-1.24164043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323259023525304-0.323244355673385)×R²
    abs(-1.36476353--1.36481147)×1.46678519190591e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46678519190591e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46678519190591e-05×40589641000000     		ar = 9749.57628185403m²