Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37064 / 45256
↖ ↑ ↗
← S 56.389584°
E 23.598633°		 ← 338.13 m → S 56.389584°
E 23.604126°		 →
↑
338.05 m
↓
↑
338.05 m
↓
S 56.392624°
E 23.598633°		 ← 338.11 m →
114 300 m²		 S 56.392624°
E 23.604126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565559387207031 y=0.690559387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565559387207031 × 216)
    floor (0.565559387207031 × 65536)
    floor (37064.5)     		tx = 37064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690559387207031 × 216)
    floor (0.690559387207031 × 65536)
    floor (45256.5)     		ty = 45256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37064 / 45256 ti = "16/37064/45256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37064/45256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37064 ÷ 216
    37064 ÷ 65536     		x = 0.5655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45256 ÷ 216
    45256 ÷ 65536     		y = 0.6905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5655517578125 × 2 - 1) × π
    0.131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41187384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6905517578125 × 2 - 1) × π
    -0.381103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19727200491052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41187384} λ = 0.41187384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19727200491052))-π/2
    2×atan(0.302016990000313)-π/2
    2×0.29330621523177-π/2
    0.586612430463539-1.57079632675     		φ = -0.98418390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41187384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.598633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98418390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.389584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37064 KachelY 45256 0.41187384 -0.98418390 23.598633 -56.389584
    Oben rechts KachelX + 1 37065 KachelY 45256 0.41196972 -0.98418390 23.604126 -56.389584
    Unten links KachelX 37064 KachelY + 1 45257 0.41187384 -0.98423696 23.598633 -56.392624
    Unten rechts KachelX + 1 37065 KachelY + 1 45257 0.41196972 -0.98423696 23.604126 -56.392624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98418390--0.98423696) × R
    5.30600000000492e-05 × 6371000     		dl = 338.045260000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98418390--0.98423696) × R
    5.30600000000492e-05 × 6371000     		dr = 338.045260000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41187384-0.41196972) × cos(-0.98418390) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553542963617229 × 6371000     		do = 338.132538569145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41187384-0.41196972) × cos(-0.98423696) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553498773375866 × 6371000     		du = 338.105544894806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98418390)-sin(-0.98423696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553542963617229-0.553498773375866)×R²
    abs(0.41196972-0.41187384)×4.41902413631512e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41902413631512e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41902413631512e-05×40589641000000     		ar = 114299.539399958m²