Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37064 / 27561
↖ ↑ ↗
← N 27.483908°
E 23.598633°		 ← 541.91 m → N 27.483908°
E 23.604126°		 →
↑
541.92 m
↓
↑
541.92 m
↓
N 27.479035°
E 23.598633°		 ← 541.94 m →
293 677 m²		 N 27.479035°
E 23.604126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565559387207031 y=0.420555114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565559387207031 × 216)
    floor (0.565559387207031 × 65536)
    floor (37064.5)     		tx = 37064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420555114746094 × 216)
    floor (0.420555114746094 × 65536)
    floor (27561.5)     		ty = 27561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37064 / 27561 ti = "16/37064/27561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37064/27561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37064 ÷ 216
    37064 ÷ 65536     		x = 0.5655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27561 ÷ 216
    27561 ÷ 65536     		y = 0.420547485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5655517578125 × 2 - 1) × π
    0.131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41187384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420547485351562 × 2 - 1) × π
    0.158905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499214872643265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41187384} λ = 0.41187384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499214872643265))-π/2
    2×atan(1.64742732255038)-π/2
    2×1.02524050694675-π/2
    2.0504810138935-1.57079632675     		φ = 0.47968469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41187384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.598633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47968469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.483908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37064 KachelY 27561 0.41187384 0.47968469 23.598633 27.483908
    Oben rechts KachelX + 1 37065 KachelY 27561 0.41196972 0.47968469 23.604126 27.483908
    Unten links KachelX 37064 KachelY + 1 27562 0.41187384 0.47959963 23.598633 27.479035
    Unten rechts KachelX + 1 37065 KachelY + 1 27562 0.41196972 0.47959963 23.604126 27.479035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47968469-0.47959963) × R
    8.50600000000257e-05 × 6371000     		dl = 541.917260000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47968469-0.47959963) × R
    8.50600000000257e-05 × 6371000     		dr = 541.917260000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41187384-0.41196972) × cos(0.47968469) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887140482276019 × 6371000     		do = 541.911076566178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41187384-0.41196972) × cos(0.47959963) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887179734211928 × 6371000     		du = 541.935053669321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47968469)-sin(0.47959963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887140482276019-0.887179734211928)×R²
    abs(0.41196972-0.41187384)×3.92519359089238e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.92519359089238e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.92519359089238e-05×40589641000000     		ar = 293677.462756609m²