Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37063 / 30525
↖ ↑ ↗
← N 12.227287°
E 23.593140°		 ← 596.93 m → N 12.227287°
E 23.598633°		 →
↑
596.96 m
↓
↑
596.96 m
↓
N 12.221918°
E 23.593140°		 ← 596.94 m →
356 350 m²		 N 12.221918°
E 23.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565544128417969 y=0.465782165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565544128417969 × 216)
    floor (0.565544128417969 × 65536)
    floor (37063.5)     		tx = 37063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465782165527344 × 216)
    floor (0.465782165527344 × 65536)
    floor (30525.5)     		ty = 30525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37063 / 30525 ti = "16/37063/30525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37063/30525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37063 ÷ 216
    37063 ÷ 65536     		x = 0.565536499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30525 ÷ 216
    30525 ÷ 65536     		y = 0.465774536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565536499023438 × 2 - 1) × π
    0.131072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41177797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465774536132812 × 2 - 1) × π
    0.068450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.215044931695572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41177797} λ = 0.41177797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215044931695572))-π/2
    2×atan(1.23991760731494)-π/2
    2×0.892101365995198-π/2
    1.7842027319904-1.57079632675     		φ = 0.21340641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41177797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.593140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21340641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.227287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37063 KachelY 30525 0.41177797 0.21340641 23.593140 12.227287
    Oben rechts KachelX + 1 37064 KachelY 30525 0.41187384 0.21340641 23.598633 12.227287
    Unten links KachelX 37063 KachelY + 1 30526 0.41177797 0.21331271 23.593140 12.221918
    Unten rechts KachelX + 1 37064 KachelY + 1 30526 0.41187384 0.21331271 23.598633 12.221918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21340641-0.21331271) × R
    9.37000000000021e-05 × 6371000     		dl = 596.962700000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21340641-0.21331271) × R
    9.37000000000021e-05 × 6371000     		dr = 596.962700000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41177797-0.41187384) × cos(0.21340641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977315141861503 × 6371000     		do = 596.932136084808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41177797-0.41187384) × cos(0.21331271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97733498231841 × 6371000     		du = 596.944254393238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21340641)-sin(0.21331271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977315141861503-0.97733498231841)×R²
    abs(0.41187384-0.41177797)×1.98404569066168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98404569066168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98404569066168e-05×40589641000000     		ar = 356349.837023746m²