Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37063 / 27463
↖ ↑ ↗
← N 27.960443°
E 23.593140°		 ← 539.49 m → N 27.960443°
E 23.598633°		 →
↑
539.50 m
↓
↑
539.50 m
↓
N 27.955591°
E 23.593140°		 ← 539.52 m →
291 060 m²		 N 27.955591°
E 23.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565544128417969 y=0.419059753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565544128417969 × 216)
    floor (0.565544128417969 × 65536)
    floor (37063.5)     		tx = 37063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419059753417969 × 216)
    floor (0.419059753417969 × 65536)
    floor (27463.5)     		ty = 27463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37063 / 27463 ti = "16/37063/27463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37063/27463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37063 ÷ 216
    37063 ÷ 65536     		x = 0.565536499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27463 ÷ 216
    27463 ÷ 65536     		y = 0.419052124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565536499023438 × 2 - 1) × π
    0.131072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41177797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419052124023438 × 2 - 1) × π
    0.161895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.508610504968796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41177797} λ = 0.41177797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508610504968796))-π/2
    2×atan(1.66297888794657)-π/2
    2×1.02939905932608-π/2
    2.05879811865216-1.57079632675     		φ = 0.48800179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41177797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.593140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48800179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.960443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37063 KachelY 27463 0.41177797 0.48800179 23.593140 27.960443
    Oben rechts KachelX + 1 37064 KachelY 27463 0.41187384 0.48800179 23.598633 27.960443
    Unten links KachelX 37063 KachelY + 1 27464 0.41177797 0.48791711 23.593140 27.955591
    Unten rechts KachelX + 1 37064 KachelY + 1 27464 0.41187384 0.48791711 23.598633 27.955591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48800179-0.48791711) × R
    8.46800000000036e-05 × 6371000     		dl = 539.496280000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48800179-0.48791711) × R
    8.46800000000036e-05 × 6371000     		dr = 539.496280000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41177797-0.41187384) × cos(0.48800179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883271505832513 × 6371000     		do = 539.491433351971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41177797-0.41187384) × cos(0.48791711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883311205888223 × 6371000     		du = 539.515681660467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48800179)-sin(0.48791711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883271505832513-0.883311205888223)×R²
    abs(0.41187384-0.41177797)×3.9700055709746e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9700055709746e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9700055709746e-05×40589641000000     		ar = 291060.162495224m²