Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37063 / 102985
↖ ↑ ↗
← S 71.138980°
W 78.203430°		 ← 98.72 m → S 71.138980°
W 78.200684°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
S 71.139868°
W 78.203430°		 ← 98.71 m →
9 748 m²		 S 71.139868°
W 78.200684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282772064208984 y=0.785717010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282772064208984 × 217)
    floor (0.282772064208984 × 131072)
    floor (37063.5)     		tx = 37063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785717010498047 × 217)
    floor (0.785717010498047 × 131072)
    floor (102985.5)     		ty = 102985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37063 / 102985 ti = "17/37063/102985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37063/102985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37063 ÷ 217
    37063 ÷ 131072     		x = 0.282768249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102985 ÷ 217
    102985 ÷ 131072     		y = 0.785713195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282768249511719 × 2 - 1) × π
    -0.434463500976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.36490734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785713195800781 × 2 - 1) × π
    -0.571426391601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.79518895387148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36490734} λ = -1.36490734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79518895387148))-π/2
    2×atan(0.166096064887037)-π/2
    2×0.164593445986193-π/2
    0.329186891972386-1.57079632675     		φ = -1.24160943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36490734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.203430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24160943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.138980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37063 KachelY 102985 -1.36490734 -1.24160943 -78.203430 -71.138980
    Oben rechts KachelX + 1 37064 KachelY 102985 -1.36485941 -1.24160943 -78.200684 -71.138980
    Unten links KachelX 37063 KachelY + 1 102986 -1.36490734 -1.24162493 -78.203430 -71.139868
    Unten rechts KachelX + 1 37064 KachelY + 1 102986 -1.36485941 -1.24162493 -78.200684 -71.139868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24160943--1.24162493) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24160943--1.24162493) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36490734--1.36485941) × cos(-1.24160943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32327369129956 × 6371000     		do = 98.7155106208874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36490734--1.36485941) × cos(-1.24162493) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323259023525304 × 6371000     		du = 98.7110316395649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24160943)-sin(-1.24162493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32327369129956-0.323259023525304)×R²
    abs(-1.36485941--1.36490734)×1.46677742561274e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46677742561274e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46677742561274e-05×40589641000000     		ar = 9747.98488089542m²