Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37062 / 30598
↖ ↑ ↗
← N 11.835095°
E 23.587646°		 ← 597.87 m → N 11.835095°
E 23.593140°		 →
↑
597.85 m
↓
↑
597.85 m
↓
N 11.829718°
E 23.587646°		 ← 597.88 m →
357 440 m²		 N 11.829718°
E 23.593140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565528869628906 y=0.466896057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565528869628906 × 216)
    floor (0.565528869628906 × 65536)
    floor (37062.5)     		tx = 37062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466896057128906 × 216)
    floor (0.466896057128906 × 65536)
    floor (30598.5)     		ty = 30598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37062 / 30598 ti = "16/37062/30598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37062/30598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37062 ÷ 216
    37062 ÷ 65536     		x = 0.565521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30598 ÷ 216
    30598 ÷ 65536     		y = 0.466888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565521240234375 × 2 - 1) × π
    0.13104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41168209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466888427734375 × 2 - 1) × π
    0.06622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.208046144351044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41168209} λ = 0.41168209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208046144351044))-π/2
    2×atan(1.23126998439241)-π/2
    2×0.888678846334863-π/2
    1.77735769266973-1.57079632675     		φ = 0.20656137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41168209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.587646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20656137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.835095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37062 KachelY 30598 0.41168209 0.20656137 23.587646 11.835095
    Oben rechts KachelX + 1 37063 KachelY 30598 0.41177797 0.20656137 23.593140 11.835095
    Unten links KachelX 37062 KachelY + 1 30599 0.41168209 0.20646753 23.587646 11.829718
    Unten rechts KachelX + 1 37063 KachelY + 1 30599 0.41177797 0.20646753 23.593140 11.829718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20656137-0.20646753) × R
    9.38399999999839e-05 × 6371000     		dl = 597.854639999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20656137-0.20646753) × R
    9.38399999999839e-05 × 6371000     		dr = 597.854639999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41168209-0.41177797) × cos(0.20656137) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978741947577657 × 6371000     		do = 597.865967215848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41168209-0.41177797) × cos(0.20646753) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978761189438195 × 6371000     		du = 597.877721134836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20656137)-sin(0.20646753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978741947577657-0.978761189438195)×R²
    abs(0.41177797-0.41168209)×1.92418605376998e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.92418605376998e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.92418605376998e-05×40589641000000     		ar = 357440.456427865m²