Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37062 / 30596
↖ ↑ ↗
← N 11.845847°
E 23.587646°		 ← 597.84 m → N 11.845847°
E 23.593140°		 →
↑
597.79 m
↓
↑
597.79 m
↓
N 11.840471°
E 23.587646°		 ← 597.85 m →
357 388 m²		 N 11.840471°
E 23.593140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565528869628906 y=0.466865539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565528869628906 × 216)
    floor (0.565528869628906 × 65536)
    floor (37062.5)     		tx = 37062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466865539550781 × 216)
    floor (0.466865539550781 × 65536)
    floor (30596.5)     		ty = 30596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37062 / 30596 ti = "16/37062/30596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37062/30596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37062 ÷ 216
    37062 ÷ 65536     		x = 0.565521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30596 ÷ 216
    30596 ÷ 65536     		y = 0.46685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565521240234375 × 2 - 1) × π
    0.13104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41168209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46685791015625 × 2 - 1) × π
    0.0662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.208237891949524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41168209} λ = 0.41168209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208237891949524))-π/2
    2×atan(1.23150610009158)-π/2
    2×0.888772680198289-π/2
    1.77754536039658-1.57079632675     		φ = 0.20674903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41168209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.587646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20674903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.845847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37062 KachelY 30596 0.41168209 0.20674903 23.587646 11.845847
    Oben rechts KachelX + 1 37063 KachelY 30596 0.41177797 0.20674903 23.593140 11.845847
    Unten links KachelX 37062 KachelY + 1 30597 0.41168209 0.20665520 23.587646 11.840471
    Unten rechts KachelX + 1 37063 KachelY + 1 30597 0.41177797 0.20665520 23.593140 11.840471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20674903-0.20665520) × R
    9.38299999999892e-05 × 6371000     		dl = 597.790929999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20674903-0.20665520) × R
    9.38299999999892e-05 × 6371000     		dr = 597.790929999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41168209-0.41177797) × cos(0.20674903) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978703442106091 × 6371000     		do = 597.842446091554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41168209-0.41177797) × cos(0.20665520) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978722699150245 × 6371000     		du = 597.854209285476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20674903)-sin(0.20665520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978703442106091-0.978722699150245)×R²
    abs(0.41177797-0.41168209)×1.9257044153842e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.9257044153842e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.9257044153842e-05×40589641000000     		ar = 357388.308070057m²