Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37062 / 30410
↖ ↑ ↗
← N 12.843938°
E 23.587646°		 ← 595.57 m → N 12.843938°
E 23.593140°		 →
↑
595.50 m
↓
↑
595.50 m
↓
N 12.838582°
E 23.587646°		 ← 595.58 m →
354 663 m²		 N 12.838582°
E 23.593140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565528869628906 y=0.464027404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565528869628906 × 216)
    floor (0.565528869628906 × 65536)
    floor (37062.5)     		tx = 37062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464027404785156 × 216)
    floor (0.464027404785156 × 65536)
    floor (30410.5)     		ty = 30410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37062 / 30410 ti = "16/37062/30410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37062/30410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37062 ÷ 216
    37062 ÷ 65536     		x = 0.565521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30410 ÷ 216
    30410 ÷ 65536     		y = 0.464019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565521240234375 × 2 - 1) × π
    0.13104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41168209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464019775390625 × 2 - 1) × π
    0.07196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.226070418608185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41168209} λ = 0.41168209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226070418608185))-π/2
    2×atan(1.25366394343997)-π/2
    2×0.897482664224842-π/2
    1.79496532844968-1.57079632675     		φ = 0.22416900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41168209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.587646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22416900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.843938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37062 KachelY 30410 0.41168209 0.22416900 23.587646 12.843938
    Oben rechts KachelX + 1 37063 KachelY 30410 0.41177797 0.22416900 23.593140 12.843938
    Unten links KachelX 37062 KachelY + 1 30411 0.41168209 0.22407553 23.587646 12.838582
    Unten rechts KachelX + 1 37063 KachelY + 1 30411 0.41177797 0.22407553 23.593140 12.838582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22416900-0.22407553) × R
    9.34700000000122e-05 × 6371000     		dl = 595.497370000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22416900-0.22407553) × R
    9.34700000000122e-05 × 6371000     		dr = 595.497370000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41168209-0.41177797) × cos(0.22416900) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974979171857159 × 6371000     		do = 595.567470098074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41168209-0.41177797) × cos(0.22407553) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974999945626846 × 6371000     		du = 595.580159786032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22416900)-sin(0.22407553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974979171857159-0.974999945626846)×R²
    abs(0.41177797-0.41168209)×2.07737696866772e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.07737696866772e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.07737696866772e-05×40589641000000     		ar = 354662.640697091m²