Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37062 / 30270
↖ ↑ ↗
← N 13.592600°
E 23.587646°		 ← 593.74 m → N 13.592600°
E 23.593140°		 →
↑
593.71 m
↓
↑
593.71 m
↓
N 13.587260°
E 23.587646°		 ← 593.76 m →
352 517 m²		 N 13.587260°
E 23.593140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565528869628906 y=0.461891174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565528869628906 × 216)
    floor (0.565528869628906 × 65536)
    floor (37062.5)     		tx = 37062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461891174316406 × 216)
    floor (0.461891174316406 × 65536)
    floor (30270.5)     		ty = 30270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37062 / 30270 ti = "16/37062/30270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37062/30270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37062 ÷ 216
    37062 ÷ 65536     		x = 0.565521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30270 ÷ 216
    30270 ÷ 65536     		y = 0.461883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565521240234375 × 2 - 1) × π
    0.13104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41168209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461883544921875 × 2 - 1) × π
    0.07623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.239492750501801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41168209} λ = 0.41168209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239492750501801))-π/2
    2×atan(1.27060447334768)-π/2
    2×0.904015973228121-π/2
    1.80803194645624-1.57079632675     		φ = 0.23723562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41168209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.587646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23723562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.592600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37062 KachelY 30270 0.41168209 0.23723562 23.587646 13.592600
    Oben rechts KachelX + 1 37063 KachelY 30270 0.41177797 0.23723562 23.593140 13.592600
    Unten links KachelX 37062 KachelY + 1 30271 0.41168209 0.23714243 23.587646 13.587260
    Unten rechts KachelX + 1 37063 KachelY + 1 30271 0.41177797 0.23714243 23.593140 13.587260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23723562-0.23714243) × R
    9.31900000000208e-05 × 6371000     		dl = 593.713490000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23723562-0.23714243) × R
    9.31900000000208e-05 × 6371000     		dr = 593.713490000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41168209-0.41177797) × cos(0.23723562) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971991363020225 × 6371000     		do = 593.742362648076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41168209-0.41177797) × cos(0.23714243) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.972013259994187 × 6371000     		du = 593.755738447028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23723562)-sin(0.23714243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971991363020225-0.972013259994187)×R²
    abs(0.41177797-0.41168209)×2.18969739617103e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.18969739617103e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.18969739617103e-05×40589641000000     		ar = 352516.821239942m²