Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37060 / 39108
↖ ↑ ↗
← S 32.861132°
E 23.576660°		 ← 513.05 m → S 32.861132°
E 23.582153°		 →
↑
513.12 m
↓
↑
513.12 m
↓
S 32.865747°
E 23.576660°		 ← 513.03 m →
263 252 m²		 S 32.865747°
E 23.582153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565498352050781 y=0.596748352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565498352050781 × 216)
    floor (0.565498352050781 × 65536)
    floor (37060.5)     		tx = 37060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596748352050781 × 216)
    floor (0.596748352050781 × 65536)
    floor (39108.5)     		ty = 39108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37060 / 39108 ti = "16/37060/39108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37060/39108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37060 ÷ 216
    37060 ÷ 65536     		x = 0.56549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39108 ÷ 216
    39108 ÷ 65536     		y = 0.59674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56549072265625 × 2 - 1) × π
    0.1309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41149035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.1934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.607839887182312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41149035} λ = 0.41149035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607839887182312))-π/2
    2×atan(0.544525836825864)-π/2
    2×0.498630685921453-π/2
    0.997261371842907-1.57079632675     		φ = -0.57353495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41149035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.576660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57353495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.861132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37060 KachelY 39108 0.41149035 -0.57353495 23.576660 -32.861132
    Oben rechts KachelX + 1 37061 KachelY 39108 0.41158622 -0.57353495 23.582153 -32.861132
    Unten links KachelX 37060 KachelY + 1 39109 0.41149035 -0.57361549 23.576660 -32.865747
    Unten rechts KachelX + 1 37061 KachelY + 1 39109 0.41158622 -0.57361549 23.582153 -32.865747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57353495--0.57361549) × R
    8.05400000000178e-05 × 6371000     		dl = 513.120340000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57353495--0.57361549) × R
    8.05400000000178e-05 × 6371000     		dr = 513.120340000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41149035-0.41158622) × cos(-0.57353495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839988146686666 × 6371000     		do = 513.054486941171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41149035-0.41158622) × cos(-0.57361549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839944442575873 × 6371000     		du = 513.027793004799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57353495)-sin(-0.57361549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839988146686666-0.839944442575873)×R²
    abs(0.41158622-0.41149035)×4.37041107935743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37041107935743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37041107935743e-05×40589641000000     		ar = 263251.844319212m²