Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37059 / 30521
↖ ↑ ↗
← N 12.248760°
E 23.571167°		 ← 596.95 m → N 12.248760°
E 23.576660°		 →
↑
596.96 m
↓
↑
596.96 m
↓
N 12.243391°
E 23.571167°		 ← 596.96 m →
356 358 m²		 N 12.243391°
E 23.576660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565483093261719 y=0.465721130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565483093261719 × 216)
    floor (0.565483093261719 × 65536)
    floor (37059.5)     		tx = 37059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465721130371094 × 216)
    floor (0.465721130371094 × 65536)
    floor (30521.5)     		ty = 30521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37059 / 30521 ti = "16/37059/30521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37059/30521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37059 ÷ 216
    37059 ÷ 65536     		x = 0.565475463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30521 ÷ 216
    30521 ÷ 65536     		y = 0.465713500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565475463867188 × 2 - 1) × π
    0.130950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41139447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465713500976562 × 2 - 1) × π
    0.068572998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.215428426892532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41139447} λ = 0.41139447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215428426892532))-π/2
    2×atan(1.24039320095008)-π/2
    2×0.892288756212345-π/2
    1.78457751242469-1.57079632675     		φ = 0.21378119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41139447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.571167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21378119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.248760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37059 KachelY 30521 0.41139447 0.21378119 23.571167 12.248760
    Oben rechts KachelX + 1 37060 KachelY 30521 0.41149035 0.21378119 23.576660 12.248760
    Unten links KachelX 37059 KachelY + 1 30522 0.41139447 0.21368749 23.571167 12.243391
    Unten rechts KachelX + 1 37060 KachelY + 1 30522 0.41149035 0.21368749 23.576660 12.243391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21378119-0.21368749) × R
    9.37000000000021e-05 × 6371000     		dl = 596.962700000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21378119-0.21368749) × R
    9.37000000000021e-05 × 6371000     		dr = 596.962700000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41139447-0.41149035) × cos(0.21378119) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.977235698473511 × 6371000     		do = 596.945872721332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41139447-0.41149035) × cos(0.21368749) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.977255573249636 × 6371000     		du = 596.958013257743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21378119)-sin(0.21368749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977235698473511-0.977255573249636)×R²
    abs(0.41149035-0.41139447)×1.9874776125306e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.9874776125306e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.9874776125306e-05×40589641000000     		ar = 356358.043918022m²