Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37059 / 102827
↖ ↑ ↗
← S 70.998189°
W 78.214416°		 ← 99.45 m → S 70.998189°
W 78.211670°		 →
↑
99.39 m
↓
↑
99.39 m
↓
S 70.999083°
W 78.214416°		 ← 99.44 m →
9 883 m²		 S 70.999083°
W 78.211670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282741546630859 y=0.784511566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282741546630859 × 217)
    floor (0.282741546630859 × 131072)
    floor (37059.5)     		tx = 37059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784511566162109 × 217)
    floor (0.784511566162109 × 131072)
    floor (102827.5)     		ty = 102827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37059 / 102827 ti = "17/37059/102827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37059/102827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37059 ÷ 217
    37059 ÷ 131072     		x = 0.282737731933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102827 ÷ 217
    102827 ÷ 131072     		y = 0.784507751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282737731933594 × 2 - 1) × π
    -0.434524536132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.36509909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784507751464844 × 2 - 1) × π
    -0.569015502929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.78761492373151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36509909} λ = -1.36509909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78761492373151))-π/2
    2×atan(0.167358857667142)-π/2
    2×0.165822084860328-π/2
    0.331644169720657-1.57079632675     		φ = -1.23915216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36509909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.214416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23915216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.998189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37059 KachelY 102827 -1.36509909 -1.23915216 -78.214416 -70.998189
    Oben rechts KachelX + 1 37060 KachelY 102827 -1.36505115 -1.23915216 -78.211670 -70.998189
    Unten links KachelX 37059 KachelY + 1 102828 -1.36509909 -1.23916776 -78.214416 -70.999083
    Unten rechts KachelX + 1 37060 KachelY + 1 102828 -1.36505115 -1.23916776 -78.211670 -70.999083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23915216--1.23916776) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dl = 99.3876000000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23915216--1.23916776) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dr = 99.3876000000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36509909--1.36505115) × cos(-1.23915216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325598041111718 × 6371000     		do = 99.4460226490318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36509909--1.36505115) × cos(-1.23916776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325583291142865 × 6371000     		du = 99.4415176288799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23915216)-sin(-1.23916776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325598041111718-0.325583291142865)×R²
    abs(-1.36505115--1.36509909)×1.47499688528119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47499688528119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47499688528119e-05×40589641000000     		ar = 9883.47764937338m²