Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37059 / 102817
↖ ↑ ↗
← S 70.989244°
W 78.214416°		 ← 99.49 m → S 70.989244°
W 78.211670°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
S 70.990138°
W 78.214416°		 ← 99.49 m →
9 894 m²		 S 70.990138°
W 78.211670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282741546630859 y=0.784435272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282741546630859 × 217)
    floor (0.282741546630859 × 131072)
    floor (37059.5)     		tx = 37059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784435272216797 × 217)
    floor (0.784435272216797 × 131072)
    floor (102817.5)     		ty = 102817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37059 / 102817 ti = "17/37059/102817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37059/102817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37059 ÷ 217
    37059 ÷ 131072     		x = 0.282737731933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102817 ÷ 217
    102817 ÷ 131072     		y = 0.784431457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282737731933594 × 2 - 1) × π
    -0.434524536132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.36509909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784431457519531 × 2 - 1) × π
    -0.568862915039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.78713555473531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36509909} λ = -1.36509909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78713555473531))-π/2
    2×atan(0.167439103546904)-π/2
    2×0.165900143352307-π/2
    0.331800286704614-1.57079632675     		φ = -1.23899604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36509909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.214416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23899604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.989244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37059 KachelY 102817 -1.36509909 -1.23899604 -78.214416 -70.989244
    Oben rechts KachelX + 1 37060 KachelY 102817 -1.36505115 -1.23899604 -78.211670 -70.989244
    Unten links KachelX 37059 KachelY + 1 102818 -1.36509909 -1.23901165 -78.214416 -70.990138
    Unten rechts KachelX + 1 37060 KachelY + 1 102818 -1.36505115 -1.23901165 -78.211670 -70.990138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23899604--1.23901165) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23899604--1.23901165) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36509909--1.36505115) × cos(-1.23899604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325745649896484 × 6371000     		do = 99.4911061713494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36509909--1.36505115) × cos(-1.23901165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325730891266153 × 6371000     		du = 99.4865985057591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23899604)-sin(-1.23901165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325745649896484-0.325730891266153)×R²
    abs(-1.36505115--1.36509909)×1.47586303312908e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47586303312908e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47586303312908e-05×40589641000000     		ar = 9894.29669563803m²