Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37058 / 39150
↖ ↑ ↗
← S 33.054717°
E 23.565674°		 ← 511.93 m → S 33.054717°
E 23.571167°		 →
↑
511.91 m
↓
↑
511.91 m
↓
S 33.059320°
E 23.565674°		 ← 511.91 m →
262 056 m²		 S 33.059320°
E 23.571167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565467834472656 y=0.597389221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565467834472656 × 216)
    floor (0.565467834472656 × 65536)
    floor (37058.5)     		tx = 37058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597389221191406 × 216)
    floor (0.597389221191406 × 65536)
    floor (39150.5)     		ty = 39150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37058 / 39150 ti = "16/37058/39150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37058/39150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37058 ÷ 216
    37058 ÷ 65536     		x = 0.565460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39150 ÷ 216
    39150 ÷ 65536     		y = 0.597381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565460205078125 × 2 - 1) × π
    0.13092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41129860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.19476318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.611866586750397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41129860} λ = 0.41129860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611866586750397))-π/2
    2×atan(0.542337603509705)-π/2
    2×0.496941345389976-π/2
    0.993882690779952-1.57079632675     		φ = -0.57691364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41129860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.565674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57691364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.054717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37058 KachelY 39150 0.41129860 -0.57691364 23.565674 -33.054717
    Oben rechts KachelX + 1 37059 KachelY 39150 0.41139447 -0.57691364 23.571167 -33.054717
    Unten links KachelX 37058 KachelY + 1 39151 0.41129860 -0.57699399 23.565674 -33.059320
    Unten rechts KachelX + 1 37059 KachelY + 1 39151 0.41139447 -0.57699399 23.571167 -33.059320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57691364--0.57699399) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dl = 511.90984999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57691364--0.57699399) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dr = 511.90984999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41129860-0.41139447) × cos(-0.57691364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838150062478779 × 6371000     		do = 511.931807586763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41129860-0.41139447) × cos(-0.57699399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838106233692858 × 6371000     		du = 511.905037500348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57691364)-sin(-0.57699399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838150062478779-0.838106233692858)×R²
    abs(0.41139447-0.41129860)×4.38287859212405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38287859212405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38287859212405e-05×40589641000000     		ar = 262056.083037751m²