Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37058 / 30597
↖ ↑ ↗
← N 11.840471°
E 23.565674°		 ← 597.79 m → N 11.840471°
E 23.571167°		 →
↑
597.79 m
↓
↑
597.79 m
↓
N 11.835095°
E 23.565674°		 ← 597.80 m →
357 358 m²		 N 11.835095°
E 23.571167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565467834472656 y=0.466880798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565467834472656 × 216)
    floor (0.565467834472656 × 65536)
    floor (37058.5)     		tx = 37058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466880798339844 × 216)
    floor (0.466880798339844 × 65536)
    floor (30597.5)     		ty = 30597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37058 / 30597 ti = "16/37058/30597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37058/30597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37058 ÷ 216
    37058 ÷ 65536     		x = 0.565460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30597 ÷ 216
    30597 ÷ 65536     		y = 0.466873168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565460205078125 × 2 - 1) × π
    0.13092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41129860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466873168945312 × 2 - 1) × π
    0.066253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.208142018150284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41129860} λ = 0.41129860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208142018150284))-π/2
    2×atan(1.23138803658266)-π/2
    2×0.888725763728053-π/2
    1.77745152745611-1.57079632675     		φ = 0.20665520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41129860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.565674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20665520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.840471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37058 KachelY 30597 0.41129860 0.20665520 23.565674 11.840471
    Oben rechts KachelX + 1 37059 KachelY 30597 0.41139447 0.20665520 23.571167 11.840471
    Unten links KachelX 37058 KachelY + 1 30598 0.41129860 0.20656137 23.565674 11.835095
    Unten rechts KachelX + 1 37059 KachelY + 1 30598 0.41139447 0.20656137 23.571167 11.835095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20665520-0.20656137) × R
    9.3830000000017e-05 × 6371000     		dl = 597.790930000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20665520-0.20656137) × R
    9.3830000000017e-05 × 6371000     		dr = 597.790930000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41129860-0.41139447) × cos(0.20665520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978722699150245 × 6371000     		do = 597.791854862346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41129860-0.41139447) × cos(0.20656137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978741947577657 × 6371000     		du = 597.803611566401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20665520)-sin(0.20656137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978722699150245-0.978741947577657)×R²
    abs(0.41139447-0.41129860)×1.92484274117444e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92484274117444e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92484274117444e-05×40589641000000     		ar = 357358.063152333m²