Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37058 / 28741
↖ ↑ ↗
← N 70.549606°
W 78.217163°		 ← 101.70 m → N 70.549606°
W 78.214416°		 →
↑
101.68 m
↓
↑
101.68 m
↓
N 70.548692°
W 78.217163°		 ← 101.71 m →
10 342 m²		 N 70.548692°
W 78.214416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282733917236328 y=0.219280242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282733917236328 × 217)
    floor (0.282733917236328 × 131072)
    floor (37058.5)     		tx = 37058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219280242919922 × 217)
    floor (0.219280242919922 × 131072)
    floor (28741.5)     		ty = 28741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37058 / 28741 ti = "17/37058/28741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37058/28741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37058 ÷ 217
    37058 ÷ 131072     		x = 0.282730102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28741 ÷ 217
    28741 ÷ 131072     		y = 0.219276428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282730102539062 × 2 - 1) × π
    -0.434539794921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36514703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219276428222656 × 2 - 1) × π
    0.561447143554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.76383822151997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36514703} λ = -1.36514703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76383822151997))-π/2
    2×atan(5.83478968577507)-π/2
    2×1.40105961981726-π/2
    2.80211923963452-1.57079632675     		φ = 1.23132291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36514703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.217163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23132291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.549606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37058 KachelY 28741 -1.36514703 1.23132291 -78.217163 70.549606
    Oben rechts KachelX + 1 37059 KachelY 28741 -1.36509909 1.23132291 -78.214416 70.549606
    Unten links KachelX 37058 KachelY + 1 28742 -1.36514703 1.23130695 -78.217163 70.548692
    Unten rechts KachelX + 1 37059 KachelY + 1 28742 -1.36509909 1.23130695 -78.214416 70.548692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23132291-1.23130695) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dl = 101.681160000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23132291-1.23130695) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dr = 101.681160000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36514703--1.36509909) × cos(1.23132291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332990607154062 × 6371000     		do = 101.703902603012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36514703--1.36509909) × cos(1.23130695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333005656276742 × 6371000     		du = 101.708498992443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23132291)-sin(1.23130695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332990607154062-0.333005656276742)×R²
    abs(-1.36509909--1.36514703)×1.50491226799665e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50491226799665e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50491226799665e-05×40589641000000     		ar = 10341.6044767118m²