Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37057 / 39107
↖ ↑ ↗
← S 32.856518°
E 23.560180°		 ← 513.13 m → S 32.856518°
E 23.565674°		 →
↑
513.06 m
↓
↑
513.06 m
↓
S 32.861132°
E 23.560180°		 ← 513.11 m →
263 260 m²		 S 32.861132°
E 23.565674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565452575683594 y=0.596733093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565452575683594 × 216)
    floor (0.565452575683594 × 65536)
    floor (37057.5)     		tx = 37057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596733093261719 × 216)
    floor (0.596733093261719 × 65536)
    floor (39107.5)     		ty = 39107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37057 / 39107 ti = "16/37057/39107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37057/39107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37057 ÷ 216
    37057 ÷ 65536     		x = 0.565444946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39107 ÷ 216
    39107 ÷ 65536     		y = 0.596725463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565444946289062 × 2 - 1) × π
    0.130889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41120272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596725463867188 × 2 - 1) × π
    -0.193450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.607744013383072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41120272} λ = 0.41120272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607744013383072))-π/2
    2×atan(0.544578045089288)-π/2
    2×0.498670953396131-π/2
    0.997341906792261-1.57079632675     		φ = -0.57345442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41120272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.560180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57345442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.856518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37057 KachelY 39107 0.41120272 -0.57345442 23.560180 -32.856518
    Oben rechts KachelX + 1 37058 KachelY 39107 0.41129860 -0.57345442 23.565674 -32.856518
    Unten links KachelX 37057 KachelY + 1 39108 0.41120272 -0.57353495 23.560180 -32.861132
    Unten rechts KachelX + 1 37058 KachelY + 1 39108 0.41129860 -0.57353495 23.565674 -32.861132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57345442--0.57353495) × R
    8.05299999999676e-05 × 6371000     		dl = 513.056629999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57345442--0.57353495) × R
    8.05299999999676e-05 × 6371000     		dr = 513.056629999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41120272-0.41129860) × cos(-0.57345442) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.840031839923345 × 6371000     		do = 513.134692664259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41120272-0.41129860) × cos(-0.57353495) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.839988146686666 × 6371000     		du = 513.108002585968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57345442)-sin(-0.57353495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840031839923345-0.839988146686666)×R²
    abs(0.41129860-0.41120272)×4.36932366785214e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36932366785214e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36932366785214e-05×40589641000000     		ar = 263260.309535684m²