Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37057 / 30544
↖ ↑ ↗
← N 12.125264°
E 23.560180°		 ← 597.22 m → N 12.125264°
E 23.565674°		 →
↑
597.15 m
↓
↑
597.15 m
↓
N 12.119894°
E 23.560180°		 ← 597.24 m →
356 638 m²		 N 12.119894°
E 23.565674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565452575683594 y=0.466072082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565452575683594 × 216)
    floor (0.565452575683594 × 65536)
    floor (37057.5)     		tx = 37057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466072082519531 × 216)
    floor (0.466072082519531 × 65536)
    floor (30544.5)     		ty = 30544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37057 / 30544 ti = "16/37057/30544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37057/30544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37057 ÷ 216
    37057 ÷ 65536     		x = 0.565444946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30544 ÷ 216
    30544 ÷ 65536     		y = 0.466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565444946289062 × 2 - 1) × π
    0.130889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41120272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466064453125 × 2 - 1) × π
    0.06787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.21322332951001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41120272} λ = 0.41120272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.21322332951001))-π/2
    2×atan(1.2376610266117)-π/2
    2×0.891211055036541-π/2
    1.78242211007308-1.57079632675     		φ = 0.21162578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41120272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.560180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21162578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.125264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37057 KachelY 30544 0.41120272 0.21162578 23.560180 12.125264
    Oben rechts KachelX + 1 37058 KachelY 30544 0.41129860 0.21162578 23.565674 12.125264
    Unten links KachelX 37057 KachelY + 1 30545 0.41120272 0.21153205 23.560180 12.119894
    Unten rechts KachelX + 1 37058 KachelY + 1 30545 0.41129860 0.21153205 23.565674 12.119894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21162578-0.21153205) × R
    9.37300000000141e-05 × 6371000     		dl = 597.15383000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21162578-0.21153205) × R
    9.37300000000141e-05 × 6371000     		dr = 597.15383000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41120272-0.41129860) × cos(0.21162578) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.977690712391366 × 6371000     		do = 597.223818646475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41120272-0.41129860) × cos(0.21153205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.977710396053817 × 6371000     		du = 597.235842440815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21162578)-sin(0.21153205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977690712391366-0.977710396053817)×R²
    abs(0.41129860-0.41120272)×1.96836624508645e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.96836624508645e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.96836624508645e-05×40589641000000     		ar = 356638.080960539m²