Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37056 / 30524
↖ ↑ ↗
← N 12.232655°
E 23.554687°		 ← 596.92 m → N 12.232655°
E 23.560180°		 →
↑
596.90 m
↓
↑
596.90 m
↓
N 12.227287°
E 23.554687°		 ← 596.93 m →
356 305 m²		 N 12.227287°
E 23.560180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565437316894531 y=0.465766906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565437316894531 × 216)
    floor (0.565437316894531 × 65536)
    floor (37056.5)     		tx = 37056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465766906738281 × 216)
    floor (0.465766906738281 × 65536)
    floor (30524.5)     		ty = 30524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37056 / 30524 ti = "16/37056/30524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37056/30524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37056 ÷ 216
    37056 ÷ 65536     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30524 ÷ 216
    30524 ÷ 65536     		y = 0.46575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46575927734375 × 2 - 1) × π
    0.0684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.215140805494812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215140805494812))-π/2
    2×atan(1.24003648862541)-π/2
    2×0.892148214977391-π/2
    1.78429642995478-1.57079632675     		φ = 0.21350010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21350010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.232655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37056 KachelY 30524 0.41110685 0.21350010 23.554687 12.232655
    Oben rechts KachelX + 1 37057 KachelY 30524 0.41120272 0.21350010 23.560180 12.232655
    Unten links KachelX 37056 KachelY + 1 30525 0.41110685 0.21340641 23.554687 12.227287
    Unten rechts KachelX + 1 37057 KachelY + 1 30525 0.41120272 0.21340641 23.560180 12.227287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21350010-0.21340641) × R
    9.36900000000074e-05 × 6371000     		dl = 596.898990000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21350010-0.21340641) × R
    9.36900000000074e-05 × 6371000     		dr = 596.898990000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41120272) × cos(0.21350010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977295294942891 × 6371000     		do = 596.920013829648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41120272) × cos(0.21340641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977315141861503 × 6371000     		du = 596.932136084808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21350010)-sin(0.21340641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977295294942891-0.977315141861503)×R²
    abs(0.41120272-0.41110685)×1.98469186124539e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98469186124539e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98469186124539e-05×40589641000000     		ar = 356304.571507234m²