Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37054 / 102826
↖ ↑ ↗
← S 70.997295°
W 78.228149°		 ← 99.43 m → S 70.997295°
W 78.225403°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
S 70.998189°
W 78.228149°		 ← 99.43 m →
9 888 m²		 S 70.998189°
W 78.225403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282703399658203 y=0.784503936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282703399658203 × 217)
    floor (0.282703399658203 × 131072)
    floor (37054.5)     		tx = 37054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784503936767578 × 217)
    floor (0.784503936767578 × 131072)
    floor (102826.5)     		ty = 102826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37054 / 102826 ti = "17/37054/102826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37054/102826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37054 ÷ 217
    37054 ÷ 131072     		x = 0.282699584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102826 ÷ 217
    102826 ÷ 131072     		y = 0.784500122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282699584960938 × 2 - 1) × π
    -0.434600830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36533877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784500122070312 × 2 - 1) × π
    -0.569000244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78756698683189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36533877} λ = -1.36533877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78756698683189))-π/2
    2×atan(0.167366880524197)-π/2
    2×0.165829889117563-π/2
    0.331659778235125-1.57079632675     		φ = -1.23913655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36533877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.228149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23913655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.997295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37054 KachelY 102826 -1.36533877 -1.23913655 -78.228149 -70.997295
    Oben rechts KachelX + 1 37055 KachelY 102826 -1.36529084 -1.23913655 -78.225403 -70.997295
    Unten links KachelX 37054 KachelY + 1 102827 -1.36533877 -1.23915216 -78.228149 -70.998189
    Unten rechts KachelX + 1 37055 KachelY + 1 102827 -1.36529084 -1.23915216 -78.225403 -70.998189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23913655--1.23915216) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23913655--1.23915216) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36533877--1.36529084) × cos(-1.23913655) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325612800456366 × 6371000     		do = 99.4297857414016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36533877--1.36529084) × cos(-1.23915216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.325598041111718 × 6371000     		du = 99.4252787979586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23913655)-sin(-1.23915216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325612800456366-0.325598041111718)×R²
    abs(-1.36529084--1.36533877)×1.47593446472305e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47593446472305e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47593446472305e-05×40589641000000     		ar = 9888.19833440049m²