Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37053 / 28485
↖ ↑ ↗
← N 70.782390°
W 78.230896°		 ← 100.53 m → N 70.782390°
W 78.228149°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
N 70.781486°
W 78.230896°		 ← 100.54 m →
10 107 m²		 N 70.781486°
W 78.228149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282695770263672 y=0.217327117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282695770263672 × 217)
    floor (0.282695770263672 × 131072)
    floor (37053.5)     		tx = 37053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217327117919922 × 217)
    floor (0.217327117919922 × 131072)
    floor (28485.5)     		ty = 28485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37053 / 28485 ti = "17/37053/28485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37053/28485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37053 ÷ 217
    37053 ÷ 131072     		x = 0.282691955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28485 ÷ 217
    28485 ÷ 131072     		y = 0.217323303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282691955566406 × 2 - 1) × π
    -0.434616088867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.36538671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217323303222656 × 2 - 1) × π
    0.565353393554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.7761100678227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36538671} λ = -1.36538671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7761100678227))-π/2
    2×atan(5.90683448521125)-π/2
    2×1.40309104297168-π/2
    2.80618208594337-1.57079632675     		φ = 1.23538576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36538671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.230896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23538576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.782390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37053 KachelY 28485 -1.36538671 1.23538576 -78.230896 70.782390
    Oben rechts KachelX + 1 37054 KachelY 28485 -1.36533877 1.23538576 -78.228149 70.782390
    Unten links KachelX 37053 KachelY + 1 28486 -1.36538671 1.23536998 -78.230896 70.781486
    Unten rechts KachelX + 1 37054 KachelY + 1 28486 -1.36533877 1.23536998 -78.228149 70.781486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23538576-1.23536998) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23538576-1.23536998) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36538671--1.36533877) × cos(1.23538576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3291568856674 × 6371000     		do = 100.532985380995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36538671--1.36533877) × cos(1.23536998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329171786289837 × 6371000     		du = 100.537536414629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23538576)-sin(1.23536998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3291568856674-0.329171786289837)×R²
    abs(-1.36533877--1.36538671)×1.49006224367532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49006224367532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49006224367532e-05×40589641000000     		ar = 10107.2501227492m²