Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37053 / 102212
↖ ↑ ↗
← S 70.440477°
W 78.230896°		 ← 102.25 m → S 70.440477°
W 78.228149°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
S 70.441397°
W 78.230896°		 ← 102.25 m →
10 456 m²		 S 70.441397°
W 78.228149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282695770263672 y=0.779819488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282695770263672 × 217)
    floor (0.282695770263672 × 131072)
    floor (37053.5)     		tx = 37053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779819488525391 × 217)
    floor (0.779819488525391 × 131072)
    floor (102212.5)     		ty = 102212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37053 / 102212 ti = "17/37053/102212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37053/102212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37053 ÷ 217
    37053 ÷ 131072     		x = 0.282691955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102212 ÷ 217
    102212 ÷ 131072     		y = 0.779815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282691955566406 × 2 - 1) × π
    -0.434616088867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.36538671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.55963134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75813373046518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36538671} λ = -1.36538671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75813373046518))-π/2
    2×atan(0.172366245710358)-π/2
    2×0.170689036329892-π/2
    0.341378072659783-1.57079632675     		φ = -1.22941825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36538671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.230896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22941825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.440477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37053 KachelY 102212 -1.36538671 -1.22941825 -78.230896 -70.440477
    Oben rechts KachelX + 1 37054 KachelY 102212 -1.36533877 -1.22941825 -78.228149 -70.440477
    Unten links KachelX 37053 KachelY + 1 102213 -1.36538671 -1.22943430 -78.230896 -70.441397
    Unten rechts KachelX + 1 37054 KachelY + 1 102213 -1.36533877 -1.22943430 -78.228149 -70.441397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22941825--1.22943430) × R
    1.60500000001562e-05 × 6371000     		dl = 102.254550000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22941825--1.22943430) × R
    1.60500000001562e-05 × 6371000     		dr = 102.254550000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36538671--1.36533877) × cos(-1.22941825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334785963395552 × 6371000     		do = 102.252250611632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36538671--1.36533877) × cos(-1.22943430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334770839530528 × 6371000     		du = 102.247631393966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22941825)-sin(-1.22943430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334785963395552-0.334770839530528)×R²
    abs(-1.36533877--1.36538671)×1.51238650248908e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51238650248908e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51238650248908e-05×40589641000000     		ar = 10455.5217052023m²