Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37052 / 39149
↖ ↑ ↗
← S 33.050112°
E 23.532715°		 ← 511.96 m → S 33.050112°
E 23.538208°		 →
↑
511.97 m
↓
↑
511.97 m
↓
S 33.054717°
E 23.532715°		 ← 511.93 m →
262 102 m²		 S 33.054717°
E 23.538208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565376281738281 y=0.597373962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565376281738281 × 216)
    floor (0.565376281738281 × 65536)
    floor (37052.5)     		tx = 37052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597373962402344 × 216)
    floor (0.597373962402344 × 65536)
    floor (39149.5)     		ty = 39149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37052 / 39149 ti = "16/37052/39149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37052/39149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37052 ÷ 216
    37052 ÷ 65536     		x = 0.56536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39149 ÷ 216
    39149 ÷ 65536     		y = 0.597366333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56536865234375 × 2 - 1) × π
    0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597366333007812 × 2 - 1) × π
    -0.194732666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.611770712951157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41072336} λ = 0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611770712951157))-π/2
    2×atan(0.542389601968829)-π/2
    2×0.496981524755997-π/2
    0.993963049511993-1.57079632675     		φ = -0.57683328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57683328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.050112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37052 KachelY 39149 0.41072336 -0.57683328 23.532715 -33.050112
    Oben rechts KachelX + 1 37053 KachelY 39149 0.41081923 -0.57683328 23.538208 -33.050112
    Unten links KachelX 37052 KachelY + 1 39150 0.41072336 -0.57691364 23.532715 -33.054717
    Unten rechts KachelX + 1 37053 KachelY + 1 39150 0.41081923 -0.57691364 23.538208 -33.054717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57683328--0.57691364) × R
    8.03600000000015e-05 × 6371000     		dl = 511.97356000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57683328--0.57691364) × R
    8.03600000000015e-05 × 6371000     		dr = 511.97356000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41072336-0.41081923) × cos(-0.57683328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838193891307225 × 6371000     		do = 511.958577699151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41072336-0.41081923) × cos(-0.57691364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838150062478779 × 6371000     		du = 511.931807586763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57683328)-sin(-0.57691364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838193891307225-0.838150062478779)×R²
    abs(0.41081923-0.41072336)×4.38288284453359e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38288284453359e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38288284453359e-05×40589641000000     		ar = 262102.40294303m²