Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37052 / 30520
↖ ↑ ↗
← N 12.254128°
E 23.532715°		 ← 596.87 m → N 12.254128°
E 23.538208°		 →
↑
596.90 m
↓
↑
596.90 m
↓
N 12.248760°
E 23.532715°		 ← 596.88 m →
356 276 m²		 N 12.248760°
E 23.538208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565376281738281 y=0.465705871582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565376281738281 × 216)
    floor (0.565376281738281 × 65536)
    floor (37052.5)     		tx = 37052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465705871582031 × 216)
    floor (0.465705871582031 × 65536)
    floor (30520.5)     		ty = 30520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37052 / 30520 ti = "16/37052/30520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37052/30520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37052 ÷ 216
    37052 ÷ 65536     		x = 0.56536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30520 ÷ 216
    30520 ÷ 65536     		y = 0.4656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56536865234375 × 2 - 1) × π
    0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4656982421875 × 2 - 1) × π
    0.068603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.215524300691772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41072336} λ = 0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215524300691772))-π/2
    2×atan(1.2405121278597)-π/2
    2×0.892335601385481-π/2
    1.78467120277096-1.57079632675     		φ = 0.21387488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21387488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.254128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37052 KachelY 30520 0.41072336 0.21387488 23.532715 12.254128
    Oben rechts KachelX + 1 37053 KachelY 30520 0.41081923 0.21387488 23.538208 12.254128
    Unten links KachelX 37052 KachelY + 1 30521 0.41072336 0.21378119 23.532715 12.248760
    Unten rechts KachelX + 1 37053 KachelY + 1 30521 0.41081923 0.21378119 23.538208 12.248760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21387488-0.21378119) × R
    9.36899999999796e-05 × 6371000     		dl = 596.89898999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21387488-0.21378119) × R
    9.36899999999796e-05 × 6371000     		dr = 596.89898999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41072336-0.41081923) × cos(0.21387488) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97721581724004 × 6371000     		do = 596.871469820758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41072336-0.41081923) × cos(0.21378119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977235698473511 × 6371000     		du = 596.883613035015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21387488)-sin(0.21378119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97721581724004-0.977235698473511)×R²
    abs(0.41081923-0.41072336)×1.98812334709642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98812334709642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98812334709642e-05×40589641000000     		ar = 356275.601892588m²