Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37052 / 102215
↖ ↑ ↗
← S 70.443236°
W 78.233643°		 ← 102.24 m → S 70.443236°
W 78.230896°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 70.444155°
W 78.233643°		 ← 102.23 m →
10 448 m²		 S 70.444155°
W 78.230896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282688140869141 y=0.779842376708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282688140869141 × 217)
    floor (0.282688140869141 × 131072)
    floor (37052.5)     		tx = 37052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779842376708984 × 217)
    floor (0.779842376708984 × 131072)
    floor (102215.5)     		ty = 102215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37052 / 102215 ti = "17/37052/102215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37052/102215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37052 ÷ 217
    37052 ÷ 131072     		x = 0.282684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102215 ÷ 217
    102215 ÷ 131072     		y = 0.779838562011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.43463134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36543465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779838562011719 × 2 - 1) × π
    -0.559677124023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.75827754116404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36543465} λ = -1.36543465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75827754116404))-π/2
    2×atan(0.172341459382415)-π/2
    2×0.170664965059509-π/2
    0.341329930119017-1.57079632675     		φ = -1.22946640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36543465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.233643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22946640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.443236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37052 KachelY 102215 -1.36543465 -1.22946640 -78.233643 -70.443236
    Oben rechts KachelX + 1 37053 KachelY 102215 -1.36538671 -1.22946640 -78.230896 -70.443236
    Unten links KachelX 37052 KachelY + 1 102216 -1.36543465 -1.22948244 -78.233643 -70.444155
    Unten rechts KachelX + 1 37053 KachelY + 1 102216 -1.36538671 -1.22948244 -78.230896 -70.444155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22946640--1.22948244) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22946640--1.22948244) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36543465--1.36538671) × cos(-1.22946640) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.334740591541769 × 6371000     		do = 102.238392880089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36543465--1.36538671) × cos(-1.22948244) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.334725476841199 × 6371000     		du = 102.233776461483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22946640)-sin(-1.22948244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334740591541769-0.334725476841199)×R²
    abs(-1.36538671--1.36543465)×1.51147005695851e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.51147005695851e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.51147005695851e-05×40589641000000     		ar = 10447.5913710019m²