Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37051 / 39150
↖ ↑ ↗
← S 33.054717°
E 23.527222°		 ← 511.99 m → S 33.054717°
E 23.532715°		 →
↑
511.91 m
↓
↑
511.91 m
↓
S 33.059320°
E 23.527222°		 ← 511.96 m →
262 083 m²		 S 33.059320°
E 23.532715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565361022949219 y=0.597389221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565361022949219 × 216)
    floor (0.565361022949219 × 65536)
    floor (37051.5)     		tx = 37051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597389221191406 × 216)
    floor (0.597389221191406 × 65536)
    floor (39150.5)     		ty = 39150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37051 / 39150 ti = "16/37051/39150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37051/39150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37051 ÷ 216
    37051 ÷ 65536     		x = 0.565353393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39150 ÷ 216
    39150 ÷ 65536     		y = 0.597381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565353393554688 × 2 - 1) × π
    0.130706787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41062748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.19476318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.611866586750397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41062748} λ = 0.41062748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611866586750397))-π/2
    2×atan(0.542337603509705)-π/2
    2×0.496941345389976-π/2
    0.993882690779952-1.57079632675     		φ = -0.57691364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41062748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.527222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57691364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.054717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37051 KachelY 39150 0.41062748 -0.57691364 23.527222 -33.054717
    Oben rechts KachelX + 1 37052 KachelY 39150 0.41072336 -0.57691364 23.532715 -33.054717
    Unten links KachelX 37051 KachelY + 1 39151 0.41062748 -0.57699399 23.527222 -33.059320
    Unten rechts KachelX + 1 37052 KachelY + 1 39151 0.41072336 -0.57699399 23.532715 -33.059320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57691364--0.57699399) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dl = 511.90984999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57691364--0.57699399) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dr = 511.90984999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41062748-0.41072336) × cos(-0.57691364) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.838150062478779 × 6371000     		do = 511.985206127216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41062748-0.41072336) × cos(-0.57699399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.838106233692858 × 6371000     		du = 511.958433248469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57691364)-sin(-0.57699399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838150062478779-0.838106233692858)×R²
    abs(0.41072336-0.41062748)×4.38287859212405e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38287859212405e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38287859212405e-05×40589641000000     		ar = 262083.417561888m²