Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37051 / 27819
↖ ↑ ↗
← N 26.219519°
E 23.527222°		 ← 548 m → N 26.219519°
E 23.532715°		 →
↑
547.97 m
↓
↑
547.97 m
↓
N 26.214591°
E 23.527222°		 ← 548.02 m →
300 294 m²		 N 26.214591°
E 23.532715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565361022949219 y=0.424491882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565361022949219 × 216)
    floor (0.565361022949219 × 65536)
    floor (37051.5)     		tx = 37051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424491882324219 × 216)
    floor (0.424491882324219 × 65536)
    floor (27819.5)     		ty = 27819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37051 / 27819 ti = "16/37051/27819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37051/27819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37051 ÷ 216
    37051 ÷ 65536     		x = 0.565353393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27819 ÷ 216
    27819 ÷ 65536     		y = 0.424484252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565353393554688 × 2 - 1) × π
    0.130706787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41062748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424484252929688 × 2 - 1) × π
    0.151031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.474479432439316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41062748} λ = 0.41062748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474479432439316))-π/2
    2×atan(1.607177335298)-π/2
    2×1.01420663158837-π/2
    2.02841326317675-1.57079632675     		φ = 0.45761694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41062748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.527222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45761694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.219519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37051 KachelY 27819 0.41062748 0.45761694 23.527222 26.219519
    Oben rechts KachelX + 1 37052 KachelY 27819 0.41072336 0.45761694 23.532715 26.219519
    Unten links KachelX 37051 KachelY + 1 27820 0.41062748 0.45753093 23.527222 26.214591
    Unten rechts KachelX + 1 37052 KachelY + 1 27820 0.41072336 0.45753093 23.532715 26.214591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45761694-0.45753093) × R
    8.60100000000252e-05 × 6371000     		dl = 547.969710000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45761694-0.45753093) × R
    8.60100000000252e-05 × 6371000     		dr = 547.969710000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41062748-0.41072336) × cos(0.45761694) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.897107907171315 × 6371000     		do = 547.999692815258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41062748-0.41072336) × cos(0.45753093) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.897145904060239 × 6371000     		du = 548.022903271093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45761694)-sin(0.45753093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897107907171315-0.897145904060239)×R²
    abs(0.41072336-0.41062748)×3.7996888923808e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.7996888923808e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.7996888923808e-05×40589641000000     		ar = 300293.592250532m²