Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3705 / 3723
↖ ↑ ↗
← S 81.241660°
E145.634766°		 ← 1 488.11 m → S 81.241660°
E145.722656°		 →
↑
1 486.99 m
↓
↑
1 486.99 m
↓
S 81.255032°
E145.634766°		 ← 1 485.85 m →
2 211 124 m²		 S 81.255032°
E145.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9046630859375 y=0.9090576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9046630859375 × 212)
    floor (0.9046630859375 × 4096)
    floor (3705.5)     		tx = 3705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9090576171875 × 212)
    floor (0.9090576171875 × 4096)
    floor (3723.5)     		ty = 3723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3705 / 3723 ti = "12/3705/3723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3705/3723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3705 ÷ 212
    3705 ÷ 4096     		x = 0.904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3723 ÷ 212
    3723 ÷ 4096     		y = 0.908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904541015625 × 2 - 1) × π
    0.80908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54180617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.81787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56941781963501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54180617} λ = 2.54180617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56941781963501))-π/2
    2×atan(0.0765801158884469)-π/2
    2×0.0764309387242414-π/2
    0.152861877448483-1.57079632675     		φ = -1.41793445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54180617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41793445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.241660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3705 KachelY 3723 2.54180617 -1.41793445 145.634766 -81.241660
    Oben rechts KachelX + 1 3706 KachelY 3723 2.54334015 -1.41793445 145.722656 -81.241660
    Unten links KachelX 3705 KachelY + 1 3724 2.54180617 -1.41816785 145.634766 -81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 3706 KachelY + 1 3724 2.54334015 -1.41816785 145.722656 -81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41793445--1.41816785) × R
    0.000233399999999939 × 6371000     		dl = 1486.99139999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41793445--1.41816785) × R
    0.000233399999999939 × 6371000     		dr = 1486.99139999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54180617-2.54334015) × cos(-1.41793445) × R
    0.00153398000000005 × 0.152267257640206 × 6371000     		do = 1488.10586549118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54180617-2.54334015) × cos(-1.41816785) × R
    0.00153398000000005 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 1485.85140801626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41793445)-sin(-1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152267257640206-0.152036575089231)×R²
    abs(2.54334015-2.54180617)×0.000230682550974581×R²
    0.00153398000000005×0.000230682550974581×6371000²
    0.00153398000000005×0.000230682550974581×40589641000000     		ar = 2211124.45487154m²