Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37049 / 30414
↖ ↑ ↗
← N 12.822514°
E 23.516235°		 ← 595.62 m → N 12.822514°
E 23.521729°		 →
↑
595.62 m
↓
↑
595.62 m
↓
N 12.817158°
E 23.516235°		 ← 595.63 m →
354 769 m²		 N 12.817158°
E 23.521729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565330505371094 y=0.464088439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565330505371094 × 216)
    floor (0.565330505371094 × 65536)
    floor (37049.5)     		tx = 37049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464088439941406 × 216)
    floor (0.464088439941406 × 65536)
    floor (30414.5)     		ty = 30414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37049 / 30414 ti = "16/37049/30414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37049/30414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37049 ÷ 216
    37049 ÷ 65536     		x = 0.565322875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30414 ÷ 216
    30414 ÷ 65536     		y = 0.464080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565322875976562 × 2 - 1) × π
    0.130645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41043573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    0.07183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.225686923411224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41043573} λ = 0.41043573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225686923411224))-π/2
    2×atan(1.25318326151455)-π/2
    2×0.897295706345574-π/2
    1.79459141269115-1.57079632675     		φ = 0.22379509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41043573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.516235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22379509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.822514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37049 KachelY 30414 0.41043573 0.22379509 23.516235 12.822514
    Oben rechts KachelX + 1 37050 KachelY 30414 0.41053161 0.22379509 23.521729 12.822514
    Unten links KachelX 37049 KachelY + 1 30415 0.41043573 0.22370160 23.516235 12.817158
    Unten rechts KachelX + 1 37050 KachelY + 1 30415 0.41053161 0.22370160 23.521729 12.817158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22379509-0.22370160) × R
    9.34900000000016e-05 × 6371000     		dl = 595.62479000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22379509-0.22370160) × R
    9.34900000000016e-05 × 6371000     		dr = 595.62479000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41043573-0.41053161) × cos(0.22379509) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.975062222483784 × 6371000     		do = 595.618201696263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41043573-0.41053161) × cos(0.22370160) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.975082966613561 × 6371000     		du = 595.630873278639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22379509)-sin(0.22370160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975062222483784-0.975082966613561)×R²
    abs(0.41053161-0.41043573)×2.07441297770394e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.07441297770394e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.07441297770394e-05×40589641000000     		ar = 354768.740318228m²