Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37048 / 45272
↖ ↑ ↗
← S 56.438204°
E 23.510742°		 ← 337.67 m → S 56.438204°
E 23.516235°		 →
↑
337.66 m
↓
↑
337.66 m
↓
S 56.441240°
E 23.510742°		 ← 337.64 m →
114 013 m²		 S 56.441240°
E 23.516235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565315246582031 y=0.690803527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565315246582031 × 216)
    floor (0.565315246582031 × 65536)
    floor (37048.5)     		tx = 37048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690803527832031 × 216)
    floor (0.690803527832031 × 65536)
    floor (45272.5)     		ty = 45272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37048 / 45272 ti = "16/37048/45272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37048/45272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37048 ÷ 216
    37048 ÷ 65536     		x = 0.5653076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45272 ÷ 216
    45272 ÷ 65536     		y = 0.6907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5653076171875 × 2 - 1) × π
    0.130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41033986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19880598569836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41033986} λ = 0.41033986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19880598569836))-π/2
    2×atan(0.301554056896072)-π/2
    2×0.292881924224807-π/2
    0.585763848449614-1.57079632675     		φ = -0.98503248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41033986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.510742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98503248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.438204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37048 KachelY 45272 0.41033986 -0.98503248 23.510742 -56.438204
    Oben rechts KachelX + 1 37049 KachelY 45272 0.41043573 -0.98503248 23.516235 -56.438204
    Unten links KachelX 37048 KachelY + 1 45273 0.41033986 -0.98508548 23.510742 -56.441240
    Unten rechts KachelX + 1 37049 KachelY + 1 45273 0.41043573 -0.98508548 23.516235 -56.441240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98503248--0.98508548) × R
    5.29999999999697e-05 × 6371000     		dl = 337.662999999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98503248--0.98508548) × R
    5.29999999999697e-05 × 6371000     		dr = 337.662999999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41033986-0.41043573) × cos(-0.98503248) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552836049479322 × 6371000     		do = 337.665497837077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41033986-0.41043573) × cos(-0.98508548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552791884330394 × 6371000     		du = 337.638522304252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98503248)-sin(-0.98508548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552836049479322-0.552791884330394)×R²
    abs(0.41043573-0.41033986)×4.41651489274664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41651489274664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41651489274664e-05×40589641000000     		ar = 114012.590703302m²