Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37047 / 45319
↖ ↑ ↗
← S 56.580666°
E 23.505249°		 ← 336.40 m → S 56.580666°
E 23.510742°		 →
↑
336.39 m
↓
↑
336.39 m
↓
S 56.583692°
E 23.505249°		 ← 336.37 m →
113 156 m²		 S 56.583692°
E 23.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565299987792969 y=0.691520690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565299987792969 × 216)
    floor (0.565299987792969 × 65536)
    floor (37047.5)     		tx = 37047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691520690917969 × 216)
    floor (0.691520690917969 × 65536)
    floor (45319.5)     		ty = 45319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37047 / 45319 ti = "16/37047/45319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37047/45319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37047 ÷ 216
    37047 ÷ 65536     		x = 0.565292358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45319 ÷ 216
    45319 ÷ 65536     		y = 0.691513061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565292358398438 × 2 - 1) × π
    0.130584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41024399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691513061523438 × 2 - 1) × π
    -0.383026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20331205426265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41024399} λ = 0.41024399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20331205426265))-π/2
    2×atan(0.300198290522009)-π/2
    2×0.291638702458265-π/2
    0.583277404916529-1.57079632675     		φ = -0.98751892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41024399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.505249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98751892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.580666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37047 KachelY 45319 0.41024399 -0.98751892 23.505249 -56.580666
    Oben rechts KachelX + 1 37048 KachelY 45319 0.41033986 -0.98751892 23.510742 -56.580666
    Unten links KachelX 37047 KachelY + 1 45320 0.41024399 -0.98757172 23.505249 -56.583692
    Unten rechts KachelX + 1 37048 KachelY + 1 45320 0.41033986 -0.98757172 23.510742 -56.583692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98751892--0.98757172) × R
    5.2800000000075e-05 × 6371000     		dl = 336.388800000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98751892--0.98757172) × R
    5.2800000000075e-05 × 6371000     		dr = 336.388800000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41024399-0.41033986) × cos(-0.98751892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550762416988356 × 6371000     		do = 336.398948472121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41024399-0.41033986) × cos(-0.98757172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550718346063712 × 6371000     		du = 336.372030490336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98751892)-sin(-0.98757172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550762416988356-0.550718346063712)×R²
    abs(0.41033986-0.41024399)×4.40709246444237e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40709246444237e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40709246444237e-05×40589641000000     		ar = 113156.311170721m²