Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37044 / 30268
↖ ↑ ↗
← N 13.603278°
E 23.488770°		 ← 593.65 m → N 13.603278°
E 23.494263°		 →
↑
593.65 m
↓
↑
593.65 m
↓
N 13.597939°
E 23.488770°		 ← 593.67 m →
352 426 m²		 N 13.597939°
E 23.494263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565254211425781 y=0.461860656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565254211425781 × 216)
    floor (0.565254211425781 × 65536)
    floor (37044.5)     		tx = 37044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461860656738281 × 216)
    floor (0.461860656738281 × 65536)
    floor (30268.5)     		ty = 30268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37044 / 30268 ti = "16/37044/30268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37044/30268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37044 ÷ 216
    37044 ÷ 65536     		x = 0.56524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30268 ÷ 216
    30268 ÷ 65536     		y = 0.46185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56524658203125 × 2 - 1) × π
    0.1304931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40995637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46185302734375 × 2 - 1) × π
    0.0762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.239684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40995637} λ = 0.40995637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239684498100281))-π/2
    2×atan(1.2708481320638)-π/2
    2×0.904109159632705-π/2
    1.80821831926541-1.57079632675     		φ = 0.23742199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40995637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.488770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23742199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.603278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37044 KachelY 30268 0.40995637 0.23742199 23.488770 13.603278
    Oben rechts KachelX + 1 37045 KachelY 30268 0.41005224 0.23742199 23.494263 13.603278
    Unten links KachelX 37044 KachelY + 1 30269 0.40995637 0.23732881 23.488770 13.597939
    Unten rechts KachelX + 1 37045 KachelY + 1 30269 0.41005224 0.23732881 23.494263 13.597939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23742199-0.23732881) × R
    9.31799999999983e-05 × 6371000     		dl = 593.649779999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23742199-0.23732881) × R
    9.31799999999983e-05 × 6371000     		dr = 593.649779999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40995637-0.41005224) × cos(0.23742199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971947546101053 × 6371000     		do = 593.653674240022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40995637-0.41005224) × cos(0.23732881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971969457605125 × 6371000     		du = 593.667057518731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23742199)-sin(0.23732881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971947546101053-0.971969457605125)×R²
    abs(0.41005224-0.40995637)×2.19115040712703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19115040712703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19115040712703e-05×40589641000000     		ar = 352426.345854055m²