Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37043 / 30265
↖ ↑ ↗
← N 13.619295°
E 23.483276°		 ← 593.68 m → N 13.619295°
E 23.488770°		 →
↑
593.65 m
↓
↑
593.65 m
↓
N 13.613956°
E 23.483276°		 ← 593.69 m →
352 439 m²		 N 13.613956°
E 23.488770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565238952636719 y=0.461814880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565238952636719 × 216)
    floor (0.565238952636719 × 65536)
    floor (37043.5)     		tx = 37043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461814880371094 × 216)
    floor (0.461814880371094 × 65536)
    floor (30265.5)     		ty = 30265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37043 / 30265 ti = "16/37043/30265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37043/30265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37043 ÷ 216
    37043 ÷ 65536     		x = 0.565231323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30265 ÷ 216
    30265 ÷ 65536     		y = 0.461807250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565231323242188 × 2 - 1) × π
    0.130462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40986049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461807250976562 × 2 - 1) × π
    0.076385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.239972119498001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40986049} λ = 0.40986049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239972119498001))-π/2
    2×atan(1.27121370775101)-π/2
    2×0.904248931358976-π/2
    1.80849786271795-1.57079632675     		φ = 0.23770154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40986049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.483276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23770154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.619295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37043 KachelY 30265 0.40986049 0.23770154 23.483276 13.619295
    Oben rechts KachelX + 1 37044 KachelY 30265 0.40995637 0.23770154 23.488770 13.619295
    Unten links KachelX 37043 KachelY + 1 30266 0.40986049 0.23760836 23.483276 13.613956
    Unten rechts KachelX + 1 37044 KachelY + 1 30266 0.40995637 0.23760836 23.488770 13.613956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23770154-0.23760836) × R
    9.31799999999983e-05 × 6371000     		dl = 593.649779999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23770154-0.23760836) × R
    9.31799999999983e-05 × 6371000     		dr = 593.649779999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40986049-0.40995637) × cos(0.23770154) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971881758601227 × 6371000     		do = 593.675410626517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40986049-0.40995637) × cos(0.23760836) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971903695422473 × 6371000     		du = 593.688810766241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23770154)-sin(0.23760836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971881758601227-0.971903695422473)×R²
    abs(0.40995637-0.40986049)×2.19368212457383e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.19368212457383e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.19368212457383e-05×40589641000000     		ar = 352439.254659855m²