Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37041 / 27533
↖ ↑ ↗
← N 27.620273°
E 23.472290°		 ← 541.24 m → N 27.620273°
E 23.477783°		 →
↑
541.22 m
↓
↑
541.22 m
↓
N 27.615406°
E 23.472290°		 ← 541.26 m →
292 934 m²		 N 27.615406°
E 23.477783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565208435058594 y=0.420127868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565208435058594 × 216)
    floor (0.565208435058594 × 65536)
    floor (37041.5)     		tx = 37041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420127868652344 × 216)
    floor (0.420127868652344 × 65536)
    floor (27533.5)     		ty = 27533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37041 / 27533 ti = "16/37041/27533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37041/27533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37041 ÷ 216
    37041 ÷ 65536     		x = 0.565200805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27533 ÷ 216
    27533 ÷ 65536     		y = 0.420120239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565200805664062 × 2 - 1) × π
    0.130401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40966874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420120239257812 × 2 - 1) × π
    0.159759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.501899339021988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40966874} λ = 0.40966874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501899339021988))-π/2
    2×atan(1.65185572710134)-π/2
    2×1.02643051793047-π/2
    2.05286103586094-1.57079632675     		φ = 0.48206471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40966874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.472290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48206471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.620273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37041 KachelY 27533 0.40966874 0.48206471 23.472290 27.620273
    Oben rechts KachelX + 1 37042 KachelY 27533 0.40976462 0.48206471 23.477783 27.620273
    Unten links KachelX 37041 KachelY + 1 27534 0.40966874 0.48197976 23.472290 27.615406
    Unten rechts KachelX + 1 37042 KachelY + 1 27534 0.40976462 0.48197976 23.477783 27.615406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48206471-0.48197976) × R
    8.49500000000281e-05 × 6371000     		dl = 541.216450000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48206471-0.48197976) × R
    8.49500000000281e-05 × 6371000     		dr = 541.216450000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40966874-0.40976462) × cos(0.48206471) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.886039592734024 × 6371000     		do = 541.238596560448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40966874-0.40976462) × cos(0.48197976) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.88607897317051 × 6371000     		du = 541.262652158358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48206471)-sin(0.48197976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886039592734024-0.88607897317051)×R²
    abs(0.40976462-0.40966874)×3.93804364855477e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.93804364855477e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.93804364855477e-05×40589641000000     		ar = 292933.74165224m²