Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37040 / 28341
↖ ↑ ↗
← N 23.619362°
E 23.466797°		 ← 559.62 m → N 23.619362°
E 23.472290°		 →
↑
559.69 m
↓
↑
559.69 m
↓
N 23.614328°
E 23.466797°		 ← 559.64 m →
313 221 m²		 N 23.614328°
E 23.472290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565193176269531 y=0.432456970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565193176269531 × 216)
    floor (0.565193176269531 × 65536)
    floor (37040.5)     		tx = 37040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432456970214844 × 216)
    floor (0.432456970214844 × 65536)
    floor (28341.5)     		ty = 28341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37040 / 28341 ti = "16/37040/28341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37040/28341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37040 ÷ 216
    37040 ÷ 65536     		x = 0.565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28341 ÷ 216
    28341 ÷ 65536     		y = 0.432449340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565185546875 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432449340820312 × 2 - 1) × π
    0.135101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.424433309235977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40957287} λ = 0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424433309235977))-π/2
    2×atan(1.52872386045856)-π/2
    2×0.991515977651024-π/2
    1.98303195530205-1.57079632675     		φ = 0.41223563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41223563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.619362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37040 KachelY 28341 0.40957287 0.41223563 23.466797 23.619362
    Oben rechts KachelX + 1 37041 KachelY 28341 0.40966874 0.41223563 23.472290 23.619362
    Unten links KachelX 37040 KachelY + 1 28342 0.40957287 0.41214778 23.466797 23.614328
    Unten rechts KachelX + 1 37041 KachelY + 1 28342 0.40966874 0.41214778 23.472290 23.614328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41223563-0.41214778) × R
    8.78500000000004e-05 × 6371000     		dl = 559.692350000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41223563-0.41214778) × R
    8.78500000000004e-05 × 6371000     		dr = 559.692350000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40957287-0.40966874) × cos(0.41223563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916227388684001 × 6371000     		do = 559.620483547212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40957287-0.40966874) × cos(0.41214778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916262583012827 × 6371000     		du = 559.641979812832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41223563)-sin(0.41214778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916227388684001-0.916262583012827)×R²
    abs(0.40966874-0.40957287)×3.51943288264822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51943288264822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51943288264822e-05×40589641000000     		ar = 313221.319393917m²