Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37039 / 30414
↖ ↑ ↗
← N 12.822514°
E 23.461304°		 ← 595.56 m → N 12.822514°
E 23.466797°		 →
↑
595.62 m
↓
↑
595.62 m
↓
N 12.817158°
E 23.461304°		 ← 595.57 m →
354 732 m²		 N 12.817158°
E 23.466797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565177917480469 y=0.464088439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565177917480469 × 216)
    floor (0.565177917480469 × 65536)
    floor (37039.5)     		tx = 37039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464088439941406 × 216)
    floor (0.464088439941406 × 65536)
    floor (30414.5)     		ty = 30414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37039 / 30414 ti = "16/37039/30414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37039/30414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37039 ÷ 216
    37039 ÷ 65536     		x = 0.565170288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30414 ÷ 216
    30414 ÷ 65536     		y = 0.464080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565170288085938 × 2 - 1) × π
    0.130340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40947700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    0.07183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.225686923411224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40947700} λ = 0.40947700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225686923411224))-π/2
    2×atan(1.25318326151455)-π/2
    2×0.897295706345574-π/2
    1.79459141269115-1.57079632675     		φ = 0.22379509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40947700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.461304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22379509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.822514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37039 KachelY 30414 0.40947700 0.22379509 23.461304 12.822514
    Oben rechts KachelX + 1 37040 KachelY 30414 0.40957287 0.22379509 23.466797 12.822514
    Unten links KachelX 37039 KachelY + 1 30415 0.40947700 0.22370160 23.461304 12.817158
    Unten rechts KachelX + 1 37040 KachelY + 1 30415 0.40957287 0.22370160 23.466797 12.817158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22379509-0.22370160) × R
    9.34900000000016e-05 × 6371000     		dl = 595.62479000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22379509-0.22370160) × R
    9.34900000000016e-05 × 6371000     		dr = 595.62479000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40947700-0.40957287) × cos(0.22379509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975062222483784 × 6371000     		do = 595.556080482101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40947700-0.40957287) × cos(0.22370160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975082966613561 × 6371000     		du = 595.568750742869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22379509)-sin(0.22370160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975062222483784-0.975082966613561)×R²
    abs(0.40957287-0.40947700)×2.07441297770394e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07441297770394e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07441297770394e-05×40589641000000     		ar = 354731.73898947m²