Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37037 / 30281
↖ ↑ ↗
← N 13.533860°
E 23.450317°		 ← 593.83 m → N 13.533860°
E 23.455810°		 →
↑
593.84 m
↓
↑
593.84 m
↓
N 13.528520°
E 23.450317°		 ← 593.84 m →
352 643 m²		 N 13.528520°
E 23.455810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565147399902344 y=0.462059020996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565147399902344 × 216)
    floor (0.565147399902344 × 65536)
    floor (37037.5)     		tx = 37037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462059020996094 × 216)
    floor (0.462059020996094 × 65536)
    floor (30281.5)     		ty = 30281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37037 / 30281 ti = "16/37037/30281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37037/30281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37037 ÷ 216
    37037 ÷ 65536     		x = 0.565139770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30281 ÷ 216
    30281 ÷ 65536     		y = 0.462051391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565139770507812 × 2 - 1) × π
    0.130279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40928525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462051391601562 × 2 - 1) × π
    0.075897216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.238438138710159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40928525} λ = 0.40928525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.238438138710159))-π/2
    2×atan(1.26926518522622)-π/2
    2×0.903503373019772-π/2
    1.80700674603954-1.57079632675     		φ = 0.23621042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40928525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.450317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23621042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.533860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37037 KachelY 30281 0.40928525 0.23621042 23.450317 13.533860
    Oben rechts KachelX + 1 37038 KachelY 30281 0.40938112 0.23621042 23.455810 13.533860
    Unten links KachelX 37037 KachelY + 1 30282 0.40928525 0.23611721 23.450317 13.528520
    Unten rechts KachelX + 1 37038 KachelY + 1 30282 0.40938112 0.23611721 23.455810 13.528520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23621042-0.23611721) × R
    9.32100000000102e-05 × 6371000     		dl = 593.840910000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23621042-0.23611721) × R
    9.32100000000102e-05 × 6371000     		dr = 593.840910000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40928525-0.40938112) × cos(0.23621042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972231791171586 × 6371000     		do = 593.827287652786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40928525-0.40938112) × cos(0.23611721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97225359994911 × 6371000     		du = 593.840608187376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23621042)-sin(0.23611721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972231791171586-0.97225359994911)×R²
    abs(0.40938112-0.40928525)×2.18087775237796e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.18087775237796e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.18087775237796e-05×40589641000000     		ar = 352642.892277141m²