Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37037 / 28336
↖ ↑ ↗
← N 23.644524°
E 23.450317°		 ← 559.51 m → N 23.644524°
E 23.455810°		 →
↑
559.56 m
↓
↑
559.56 m
↓
N 23.639492°
E 23.450317°		 ← 559.53 m →
313 090 m²		 N 23.639492°
E 23.455810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565147399902344 y=0.432380676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565147399902344 × 216)
    floor (0.565147399902344 × 65536)
    floor (37037.5)     		tx = 37037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432380676269531 × 216)
    floor (0.432380676269531 × 65536)
    floor (28336.5)     		ty = 28336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37037 / 28336 ti = "16/37037/28336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37037/28336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37037 ÷ 216
    37037 ÷ 65536     		x = 0.565139770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28336 ÷ 216
    28336 ÷ 65536     		y = 0.432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565139770507812 × 2 - 1) × π
    0.130279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40928525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.424912678232178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40928525} λ = 0.40928525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424912678232178))-π/2
    2×atan(1.52945685895535)-π/2
    2×0.991735562058178-π/2
    1.98347112411636-1.57079632675     		φ = 0.41267480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40928525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.450317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41267480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.644524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37037 KachelY 28336 0.40928525 0.41267480 23.450317 23.644524
    Oben rechts KachelX + 1 37038 KachelY 28336 0.40938112 0.41267480 23.455810 23.644524
    Unten links KachelX 37037 KachelY + 1 28337 0.40928525 0.41258697 23.450317 23.639492
    Unten rechts KachelX + 1 37038 KachelY + 1 28337 0.40938112 0.41258697 23.455810 23.639492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41267480-0.41258697) × R
    8.7830000000011e-05 × 6371000     		dl = 559.56493000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41267480-0.41258697) × R
    8.7830000000011e-05 × 6371000     		dr = 559.56493000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40928525-0.40938112) × cos(0.41267480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91605134306373 × 6371000     		do = 559.512957035388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40928525-0.40938112) × cos(0.41258697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916086564719276 × 6371000     		du = 559.534469991835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41267480)-sin(0.41258697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91605134306373-0.916086564719276)×R²
    abs(0.40938112-0.40928525)×3.5221655545814e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5221655545814e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5221655545814e-05×40589641000000     		ar = 313089.847786863m²