Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37036 / 28335
↖ ↑ ↗
← N 23.649556°
E 23.444824°		 ← 559.49 m → N 23.649556°
E 23.450317°		 →
↑
559.50 m
↓
↑
559.50 m
↓
N 23.644524°
E 23.444824°		 ← 559.51 m →
313 042 m²		 N 23.644524°
E 23.450317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565132141113281 y=0.432365417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565132141113281 × 216)
    floor (0.565132141113281 × 65536)
    floor (37036.5)     		tx = 37036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432365417480469 × 216)
    floor (0.432365417480469 × 65536)
    floor (28335.5)     		ty = 28335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37036 / 28335 ti = "16/37036/28335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37036/28335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37036 ÷ 216
    37036 ÷ 65536     		x = 0.56512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28335 ÷ 216
    28335 ÷ 65536     		y = 0.432357788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56512451171875 × 2 - 1) × π
    0.1302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40918938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432357788085938 × 2 - 1) × π
    0.135284423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.425008552031418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40918938} λ = 0.40918938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425008552031418))-π/2
    2×atan(1.52960350082464)-π/2
    2×0.991779473875215-π/2
    1.98355894775043-1.57079632675     		φ = 0.41276262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40918938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.444824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41276262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.649556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37036 KachelY 28335 0.40918938 0.41276262 23.444824 23.649556
    Oben rechts KachelX + 1 37037 KachelY 28335 0.40928525 0.41276262 23.450317 23.649556
    Unten links KachelX 37036 KachelY + 1 28336 0.40918938 0.41267480 23.444824 23.644524
    Unten rechts KachelX + 1 37037 KachelY + 1 28336 0.40928525 0.41267480 23.450317 23.644524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41276262-0.41267480) × R
    8.78200000000162e-05 × 6371000     		dl = 559.501220000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41276262-0.41267480) × R
    8.78200000000162e-05 × 6371000     		dr = 559.501220000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40918938-0.40928525) × cos(0.41276262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916016118353079 × 6371000     		do = 559.491442212921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40918938-0.40928525) × cos(0.41267480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91605134306373 × 6371000     		du = 559.512957035388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41276262)-sin(0.41267480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916016118353079-0.91605134306373)×R²
    abs(0.40928525-0.40918938)×3.52247106508718e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52247106508718e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52247106508718e-05×40589641000000     		ar = 313042.163483634m²