Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37035 / 30381
↖ ↑ ↗
← N 12.999205°
E 23.439331°		 ← 595.20 m → N 12.999205°
E 23.444824°		 →
↑
595.12 m
↓
↑
595.12 m
↓
N 12.993853°
E 23.439331°		 ← 595.21 m →
354 215 m²		 N 12.993853°
E 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565116882324219 y=0.463584899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565116882324219 × 216)
    floor (0.565116882324219 × 65536)
    floor (37035.5)     		tx = 37035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463584899902344 × 216)
    floor (0.463584899902344 × 65536)
    floor (30381.5)     		ty = 30381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37035 / 30381 ti = "16/37035/30381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37035/30381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37035 ÷ 216
    37035 ÷ 65536     		x = 0.565109252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30381 ÷ 216
    30381 ÷ 65536     		y = 0.463577270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565109252929688 × 2 - 1) × π
    0.130218505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40909350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463577270507812 × 2 - 1) × π
    0.072845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.228850758786148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40909350} λ = 0.40909350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228850758786148))-π/2
    2×atan(1.25715440575937)-π/2
    2×0.898837630679396-π/2
    1.79767526135879-1.57079632675     		φ = 0.22687893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40909350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.439331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22687893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.999205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37035 KachelY 30381 0.40909350 0.22687893 23.439331 12.999205
    Oben rechts KachelX + 1 37036 KachelY 30381 0.40918938 0.22687893 23.444824 12.999205
    Unten links KachelX 37035 KachelY + 1 30382 0.40909350 0.22678552 23.439331 12.993853
    Unten rechts KachelX + 1 37036 KachelY + 1 30382 0.40918938 0.22678552 23.444824 12.993853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22687893-0.22678552) × R
    9.3410000000016e-05 × 6371000     		dl = 595.115110000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22687893-0.22678552) × R
    9.3410000000016e-05 × 6371000     		dr = 595.115110000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40909350-0.40918938) × cos(0.22687893) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974373185383298 × 6371000     		do = 595.197302363656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40909350-0.40918938) × cos(0.22678552) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974394192547698 × 6371000     		du = 595.21013462112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22687893)-sin(0.22678552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974373185383298-0.974394192547698)×R²
    abs(0.40918938-0.40909350)×2.1007164400344e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.1007164400344e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.1007164400344e-05×40589641000000     		ar = 354214.726660601m²